1/10直线与双曲线一、知识梳理1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线:(1)在平面内;(2)与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数;(3)常数小于|F1F2|.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0)顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±baxy=±abxa,b,c的关系c2=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长二、典型例题:例1.双曲线y2-x2=2的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±2x例2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),c/a等于32,则C的方程是()A.x24-y25=1B.x24-y25=1C.x22-y25=1D.x22-y25=1例3.斜率为2的直线l过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左、右两支都相交,则双曲线的c/a的取值范围是()A.(-∞,2)B.(1,3)C.(1,5)D.(5,+∞)例4.已知双曲线x2a2-y25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的c/a等于()2/10A.31414B.324C.32D.43例5.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=________.例6.已知中心在原点的双曲线C,过点P(2,3)且c/a为2,则双曲线C的标准方程为例7.设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的c/a为________.例8.已知椭圆D:x250+y225=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.例9.过双曲线x23-y26=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.(1)求|AB|;(2)求△AOB的面积.例10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,c/a为2,且过点P(4,-10).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1→·MF2→=0;(3)求△F1MF2的面积.3/1011、已知曲线C的方程为22121xymm,(1)若曲线C为椭圆,则m的取值范围为;(2)若曲线C为双曲线,则m的取值范围为12、直线lykx:2与双曲线C:xy22221交于A、B两点,若AB62,求k的取值范围。13、对于双曲线2212yx,过(1,1)B能否作直线m,时使m与双曲线交于,PQ两点,且B是PQ的中点.若存在,求出m的值;若不存在,说明理由。14.已知双曲线的方程2212yx,试问是否存在被点(1,1)所平分的弦?如果存在,求出所在直线;如果不存在,说明理由。15、试问双曲线3x2-y2=1上是否存在A、B两点关于直线142yx对称?若存在,求出AB直线方程;若不存在,说明理由.16:已知双曲线C:x2-42y=1,过点P(1,1)作直线l,若l与C左支有两个不同的交点,求直线l的斜率的取值范围。4/10练习:1.与椭圆x24+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24-y2=1B.x22-y2=1C.x23-y23=1D.x2-y22=12.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的c/a为()A.6B.5C.62D.523.双曲线x225-y29=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为()A.22或2B.7C.22D.24.(2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的c/a为()A.2B.3C.3+12D.5+125.若点O和点F(-2,0)分别是双曲线x2a2-y2=1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP→·FP→的取值范围为()A.[3-23,+∞)B.[3+23,+∞)C.-74,+∞D.74,+∞6.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()A.aB.bC.abD.a2+b27.点P在双曲线上x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,F1,F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的c/a是()A.2B.3C.4D.58.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-23,则此双曲线的方程是()A.x23-y24B.x24-y23=1C.x25-y22=1D.x22-y25=19.设F1、F2分别是双曲线x2-92y=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且021PFPF,则|1PF+2PF|=.10.已知双曲线x2-y2b2(b0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=________.11.已知双曲线kx2-y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,则双曲线的c/a为________;渐近线方程为________.12.已知双曲线x2m-y2n=1的一条渐近线方程为y=43x,则该双曲线的c/a为________.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交双曲线的左支于A,B两点,5/10且|AB|=m,则△ABF2的周长为__________.14.已知F1、F2分别为双曲线C:x29-y227=1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2的平分线,则|AF2|=________.15.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线l1于P(33,63).(1)求该双曲线方程;(2)过点F作直线l2交该双曲线于M,N两点,如果|MN|=4,求直线l2的方程.16.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是5x-2y=0.(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281,求k的取值范围.17.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.四、课后作业6/10P1.已知双曲线22221xyab(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线c/a的取值范围为()A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)2.已知P是双曲线22219xya右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|=________.3.过双曲线xyabab22221(0,0)-=的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点,以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的c/a等于.4.求适合下列条件的双曲线的方程:(1)焦点在轴上,虚轴长为12,c/a为54;(2)顶点间的距离为6,渐近线方程为5.已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.(1)求该双曲线的焦点坐标、c/a和渐近线方程;(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.6.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1、F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,∠F1PF2=π3,且△PF1F2的面积为23,又双曲线的c/a为2,求该双曲线的方程.7.已知椭圆的方程为1422yx,双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点,而的左、右顶点分别是的左、右焦点.(1)求双曲线的方程;(2)若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,求的范围参考答案7/10双曲线1[解析]B椭圆x24+y2=1的焦点坐标是(±3,0).设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).因为点P(2,1)在双曲线上,所以4a2-1b2=1,a2+b2=3,解得a2=2,b2=1,所以所求的双曲线方程是x22-y2=1.2解析设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),所以其渐近线方程为y=±bax,因为点(4,-2)在渐近线上,所以ba=12,根据c2=a2+b2,可得c2-a2a2=14,解得e2=54,e=52,故选D.3答案A4答案D解析直线FB的斜率为-bc,与其垂直的渐近线的斜率为ba,所以有-b2ac=-1即b2=ac,所以c2-a2=ac,两边同时除以a2可得e2-e-1=0,解得e=1+52.5[解析]B因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为x23-y2=1.设点P(x0,y0),则有x203-y20=1(x0≥3),解得y20=x203-1(x0≥3).因为FP→=(x0+2,y0),OP→=(x0,y0),所以OP→·FP→=x0(x0+2)+y20=x0(x0+2)+x203-1=4x203+2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x0=-34,因为x0≥3,所以当x0=3时,OP→·FP→取得最小值43×3+23-1=3+23,故OP→·FP→的取值范围是[3+23,+∞).6答案B7[解析]D不妨设|PF1|,|PF2|,|F1F2|成等差数列,则4c2=|PF1|2+|PF2|2,由2|PF2|=2c+|PF1|,且|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF1|=2c-4a,|PF2|=2c-2a,代入4c2=|PF1|2+|PF2|2,得4c2=(2c-2a)2+(2c-4a)2,化简整理得c2-6ac+5a2=0,解得c=a(舍去)或者c=5a,故e=ca=5.8答案D解析设双曲线方程x2a2-y2b2=1,M(x1,y1),N(x2,y2),∴x21a2-y21b2=1①x22a2-y22b2=1②,①-②得:y1-y2x1-x2=b2a2·x1+x2y1+y2,∴1=b2a2·-23-53,∴5a2=2b2.又a2+b2=7,∴a2=2,b2=5,选D.9.21010。211。52,12x±y=0双曲线kx2-y2=1的渐近线方程是y=±kx.又因为一条渐近线方程与直线2x+y+1=0垂直,∴k=12,k=14.∴双曲线的c/a为e=1k+11k=52;渐近线方程为12x±y=0.12答案53或54解析设m0,n0,∴nm=43,∴nm=169.∴m+nm=259.∴e=53.设m0,n0.则y2-n-x2-m=1,∴nm=43.∴nm=169.∴mn=916.∴m+nn=2516.∴e=54.∴双曲线的c/a为53或54.13[解析]4a+2m由|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a⇒|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,又|AF1|+|BF1|=|AB|=m,∴|AF2|+|BF2|=4a+m.则△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.8/1014[解析]6根据角平分线的性质,||AF2||AF1=||MF2||MF1=12.又||AF1-||AF2=6,故||AF2=6.
本文标题:双曲线典型例题讲义
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