随机过程习题

随机过程复习一、回答：1、什么是宽平稳随机过程？2、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3、窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？4、什么是白噪声？性质？二、计算：1、随机过程tAtXcos)(+tBsin，其中是常数，A、B是相互独立统计的高斯变量，并且E[A]=E[B]=0，E[2A]=E[2B]=2。求：)(tX的数学期望和自相关函数？2、判断随机过程)cos()(tAtX是否平稳？其中是常数，A、分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。21)(f20；222)(aAeaaf0a3、求随机相位正弦函数)cos()(0tAtX的功率谱密度，其中A、0是常数，为[0,2]内均匀分布的随机变量。4、求用)(tX自相关函数及功率谱表示的)cos()()(0ttXtY的自相关函数及谱密度。其中，为[0,2]内均匀分布的随机变量，)(tX是与相互独立的随机过程。5、设随机过程}),cos()({0tYtAtX，其中0是常数，A与Y是相互独立的随机变量，Y服从区间)2,0(上的均匀分布，A服从瑞利分布，其概率密度为000)(2222xxexxfxA试证明)(tX为宽平稳过程。解：（1）)}{cos()()}cos({)(00YtEAEYtAEtmX20002220)cos(22dyytdxexx与t无关（2）)()}({cos)()}cos({)}({)(20222022AEYtEAEYtAEtXEtXdtetdxexAEtx02220223222221)(，202202022|2|222tttedtete所以)}({)(22tXEtX（3）)]}cos()][cos({[),(201021YtAYtAEttRX)}cos(){cos(][20102YtYtEAEdyttytt21)](cos)[cos(2121202010202)(cos1202tt只与时间间隔有关，所以)(tX为宽平稳过程。6、设随机过程CtRtX)(，),0(t，C为常数，R服从]1,0[区间上的均匀分布。（1）求)(tX的一维概率密度和一维分布函数；（2）求)(tX的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】（1）xdttfxF)()(，则)(tf为密度函数；（2）)(tX为),(ba上的均匀分布，概率密度函数其他,0,1)(bxaabxf，分布函数bxbxaabaxaxxF,1,,0)(，2)(baxE，12)()(2abxD；（3）参数为的指数分布，概率密度函数0,00,)(xxexfx，分布函数0,00,1)(xxexFx，1)(xE，21)(xD；（4）2)(,)(xDxE的正态分布，概率密度函数xexfx,21)(222)(，分布函数xdtexFxt,21)(222)(，若1,0时，其为标准正态分布。【解答】（1）因R为]1,0[上的均匀分布，C为常数，故)(tX亦为均匀分布。由R的取值范围可知，)(tX为],[tCC上的均匀分布，因此其一维概率密度其他,0,1)(tCxCtxf，一维分布函数tCxtCXCtCxCxxF,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数CttEXtmX2)()(；相关函数2)(231)]()([),(CtsCsttXsXEtsRX；协方差函数12)]}()()][()({[),(sttmtXsmsXEtsBXXX（当ts时为方差函数）7．设随机过程()cos2,(,),XtXttX是标准正态分布的随机变量。试求数学期望()tEX，方差()tDX，相关函数12(,)XRtt，协方差12(,)XCtt。解：因为2()cos2,(,),~(0,1),()0,()()1XtXttXNEXDXEX，（1）所以()(cos2)cos2()0,tEXEXttEX（2）22()(cos2)cos2()cos2,tDXDXttDXt（2）21212(,)[()()][cos2cos2]cos2,XRttEXtXtEXtXtt（2）212121212(,)(,)()()(,)cos2.XxxCttRttEtEtRttt（2）8、有随机过程{(t)，-t}和{(t)，-t}，设(t)=Asin(t+)，(t)=Bsin(t++),其中A，B，，为实常数，均匀分布于[0，2]，试求R(s,t)1.解：1,0220,f其它20201,sinsind21coscos2d41cos,,2RstEstAsBtABtstsABtsst9、随机过程(t)=Acos(t+)，-t+，其中A,,是相互统计独立的随机变量，EA=2,DA=4,是在[-5,5]上均匀分布的随机变量，是在[-，]上均匀分布的随机变量。试分析(t)的平稳性和各态历经性。2、解：tmdtdtEEAtAEtEtmdef,0cos2012coscos55RddtddttdttEAEtAtAEttEttRdef5sin54cos20822coscos408coscos208coscoscoscos,5555552所以具有平稳性。mTTAdttATtTTTT0cossinlimcos21lim故均值具有各态历经性。tRAdtttTAdttAtATttTTTTTTcos2coscos2limcoscos21lim22故相关函数不具有各态历经性。三、分析求证1、已知随机过程)cos()(tAtX，为[0,2]内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时，)(tX是各态历经过程？2、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。3、解：设顾客到来过程为{N(t),t=0}，依题意N(t)是参数为的Poisson过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：1422102PNee（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为102N，在未来半小时仍无顾客到来可表示为1102NN，从而所求概率为：1412211(1)0|02211(1)0|00221(1)02PNNNPNNNNPNNee3、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。（1）试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；（2）在已知t时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设12(),(),()NtNtNt分别为（0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。（1）由已知，1()Nt为强度12的泊松过程，2()Nt为强度23的泊松过程；故，()Nt为强度125的泊松过程；于是，5(5)(())!kttPNtkek0,1,2,k（5分）（2）22(()30,()50)(()30()50)(()50)PNtNtPNtNtPNt30320221505(()30)(()20)(3)/30!(2)/20!(()50)(5)/50!tttPNtPNttetePNtte30320230302050505(3)/30!(2)/20!32()()(5)/50!55tttteteCte（5分）一般地，50,,2,1,0,)52()53(}50)(|)({50502kCtNktNPkkk故平均有女性顾客305350}50)(|)({2tNtNE人