实变函数试题库1及参考答案

实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题1．设,AB为集合，则\ABBAB（用描述集合间关系的符号填写）2．设A是B的子集，则AB（用描述集合间关系的符号填写）3．如果E中聚点都属于E，则称E是4．有限个开集的交是5．设1E、2E是可测集，则12mEE12mEmE（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE是可数集，则*mE07．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果1a，Exfxa是，则称fx在E上可测8．可测函数列的上极限也是函数9．设nfxfx，ngxgx，则nnfxgx10．设fx在E上L可积，则fx在E上二、选择题1．下列集合关系成立的是（）A\BAAB\ABAC\ABBAD\BAAB2．若nRE是开集，则（）AEEB0EECEEDEE3．设nfx是E上一列非负可测函数，则（）AlimlimnnEEnnfxdxfxdxBlimlimnnEEnnfxdxfxdxClimlimnnEEnnfxdxfxdxDlimlimnnEEnnfxdxfx三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设0,1E中无理数，则（）AE是不可数集BE是闭集CE中没有内点D1mE2．设nE是无限集，则（）AE可以和自身的某个真子集对等BEa（a为自然数集的基数）CED*0mE3．设fx是E上的可测函数，则（）A函数fx在E上可测Bfx在E的可测子集上可测Cfx是有界的Dfx是简单函数的极限4．设fx是,ab上的有界函数，且黎曼可积，则（）Afx在,ab上可测Bfx在,ab上L可积Cfx在,ab上几乎处处连续Dfx在,ab上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1.可数个闭集的并是闭集.（）2.可数个可测集的并是可测集.（）3.相等的集合是对等的.（）4.称,fxgx在E上几乎处处相等是指使fxgx的x全体是可测集.（）五、定义题1.简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2.简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3.简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4.,ab上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1.设230,1\xxEfxxxE，其中E为0,1中有理数集，求0,1fxdx.2.设nr为0,1中全体有理数，12121,,00,1\,,nnnxrrrfxxrrr，求0,1limnnfxdx.七、证明题1．证明集合等式：(\)ABBAB2．设E是[0,1]中的无理数集，则E是可测集，且1mE3．设(),()fxgx是E上的可测函数，则[|()()]Exfxgx是可测集4．设()fx是E上的可测函数，则对任何常数0a，有1[|()|]|()|EmExfxafxdxa5．设()fx是E上的L可积函数，{}nE是E的一列可测子集，且lim0nnmE，则lim()0nEnfxdx实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题1.=2.3.闭集4.开集5.6.=7.可测集8.可测9.fxgx10.可积二、单选题ABB三、多选题ACDABABDABC四、判断题×√√√五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A，A的幂集2A的基数大于A的基数.2.答:内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解：因为0mE，所以3,.fxxae于0,1，于是30,10,1fxdxxdx，而3x在0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，41331000,11|44xxdxRxdx因此0,114fxdx.2.解：显然nfx在0,1上可测，另外由nfx定义知，0,.nfxae于0,11n所以0,10,100nfxdxdx因此0,1lim0nnfxdx七、证明题1.证明(\)()cABBABB()()()ccABABBABBBAB2.证明设F是[0,1]中的有理数集，则F是可数集，从而*0mF，因此F是可测集，从而cF可测，又[0,1]\[0,1]cEFF，故E是可测集.由于EF，所以1[0,1]()0mmEFmEmFmF，故1mF3.证明设{}nr为全体有理数所成之集，则11[|()()][|()()][|()][|()]nnnnnExfxgxExfxrgxExfxrExgxr因为(),()fxgx是E上的可测函数，所以[|()]nExfxr，[|()]nExgxr是可测集，1,2,n，于是由可测集性质知[|()()]Exfxgx是可测集4.证明因为()fx在E上可测，所以|()|fx在E上非负可测，由非负可测函数积分性质，[|()|][|()|]|()||()|ExfxaExfxaEadxfxdxfxdx而[|()|][|()|]ExfxaadxamExfxa，所以1[|()|]|()|EmExfxafxdxa5.证明因为lim0nnmE，所以0,1N，当nN时，nmE，又()fx在E上L可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,当,eEme时|()|efxdx于是当nN时，nmE，因此|()|nEfxdx，即lim()0nEnfxdx