高三数学专题复习--极坐标与参数方程

专题坐标系与参数方程(选修4—4)梅县区松源中学黄友新、何庆平2016.5应掌握知识点：（1）记住常见的参数方程、极坐标方程。（2）会进行参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化；应掌握基本方法：（1）消参的三种基本方法；（2）极坐标方程与直角坐标方程互化的方法1、高考全国卷中“坐标系与参数方程”在第23题，分值为10分，知识相对比较独立，难度中等，容易拿分。2、高考出现的题型：（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程；（2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化；（3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、最值、交点等问题。)+=+=aasincos00tyytxx，(t为参数三、（1）过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：类似地cos()sinxryr==为参数θ的几何意义为以圆心C为中心的圆心角2、圆心为C（a,b）,半径为r的圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是:cos()sinxarybr=+=+为参数圆心在原点的圆x2+y2=r2(r0)的参数方程为类似地3、焦点在X轴上椭圆的参数方程为:22221(0)xyabab+=类似地三、（2）普通方程和参数方程互化的基本方法注意：1、方法不唯一，参数可取几何参数或物理参数；2、在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.1、参数方程普通方程化为代入（消参）法、第1点是我们要着重掌握的！2、普通方程化为参数方程==)()(tgytfx适当引入参数,将方程中变数x，y写成与参数t有关系的式子：整体（消参）法代数或三角恒等式（消参）法、1、直线的极坐标方程三、（3）几种常见的极坐标方程2、圆的极坐标方程极坐标与直角坐标的互化公式为x＝ρcosθ，y＝________，ρ2＝________，tanθ＝yx(x≠0).三、（4）极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标是。如右图。），sin,cos==yx0,tan=xxy2,22yx+=1、极坐标化为直角坐标公式为：2、直角坐标化为极坐标公式为：不作特殊说明时,我们认为根据点所在的象限最小正角.小结以上是“坐标系与参数方程”的基本知识和方法，要求：1、大家熟记基本曲线的极坐标方程和普通方程。2、掌握和灵活应用参数方程与普通方程的互化方法，极坐标方程与普通方程互化方法解决相关问题。考点一参数方程与普通方程的互化例1化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线．(1)x＝1＋2t，y＝3－4t(t为参数)；(2)=+=cossincossinyx(θ为参数)．(2)∵x＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4，∴x∈[－2，2]．又x2＝1＋2sinθcosθ，将sinθcosθ＝y代入，得x2＝1＋2y.∴所求普通方程为y＝12x2－12()－2≤x≤2，它是抛物线的一部分．解析：(1)∵x＝1＋2t，∴x≥1且2t＝x－1.∵－4t＝－2x＋2，∴y＝3－4t＝3－2x＋2.即y＝－2x＋5(x≥1)，它表示一条射线．消参方法是：代入法消参方法是：整体法例2(1)把点M的极坐标8，23π化为直角坐标形式是________；(2)把点M的直角坐标()6，－2化成极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)是________．(2)由坐标变换公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0），得ρ＝（－3）2＋（－1）2＝22，tanθ＝6－2＝－33.∵点M在第四象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝11π6.因此，点M的极坐标是22，11π6.答案：(1)(－4，43)(2)22，11π6(2)由坐标变换公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0），得ρ＝（－3）2＋（－1）2＝22，tanθ＝6－2＝－33.∵点M在第四象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝11π6.因此，点M的极坐标是22，11π6.答案：(1)(－4，43)(2)22，11π6考点二：灵活应用参数方程和参数的意义．2.设方程+=+=sin3cos1yx，（θ为参数）.表示的曲线为C，（1）求曲线C上的动点到原点O的距离的最小值（2）点P为曲线C上的动点，当|OP|最小时(O为坐标原点)，求点P的坐标。考点二：灵活应用参数方程和参数的意义．解：（1）曲线C化为直角坐标方程为1)3(122=+yx，3它表示圆心为C（1，），半径r=1的圆。即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。∴点O在圆的外部，dco2132=+）（＞1，=∵rdd=min∴=2-1=1,当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。3=koc3(2)依题可得，，即直线OC的倾斜角为∵点P在曲线C上，3∴终边为OP在圆心C上的θ=+，代入方程得：P（2321，）。考点二：灵活应用参数方程和参数的意义．分析：根据参数的意义，只要知道了θ的度数，就能求出动点P的坐标。例3．已知两点的极坐标A3，π2，B3，π6，求：(1)A、B两点间的距离；(2)△AOB的面积；(3)直线AB与极轴正方向所成的角．解析：如右图所示：∵OA＝OB＝3，∠AOB＝π2－π6＝π3，∴△AOB为正三角形．(1)A，B两点间的距离为3.(2)△AOB的面积S＝12×3×3sin60°＝934.(3)直线AB与极轴正方向所成的角为π－π6＝5π6.考点三：灵活应用极坐标方程和极坐标的意义．以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度.已知直线L的方程为，曲线C的参数方程为，点M是曲线C上的一动点.（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；(Ⅱ)求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.链接高考2014（为参数），这是点p轨迹的参数方程，消参得点p的直角坐标方程为[解析]（Ⅰ）设中点p的坐标为(x,y)，依据中点公式有.（5分）以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度.已知直线L的方程为，曲线C的参数方程为，点M是曲线C上的一动点.（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；(Ⅱ)求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.链接高考2014（Ⅱ）直线l的普通方程为，曲线c的普通方程为，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线c上的点到直线l的距离的最小值为.解：本专题考查的内容一般是直线、圆、椭圆的三种方程互化；利用参数方程、极坐标方程的意义优化交点坐标的求解、线段长度、角度的计算等，难度一般不太大，同学们要树立信心拿满分。小结：1在极坐标系中，已知A2，π6，B2，－π6，求A，B两点间的距离．.2将参数方程x＝1＋4cost，y＝－2＋4sint(t为参数，0≤t≤π)化为普通方程，并说明方程表示的曲线．3将方程x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)化为普通方程．五、考点练习：1在极坐标系中，已知A2，π6，B2，－π6，求A，B两点间的距离．.解法二将点A化为直角坐标为(3，1)，点B化为直角坐标(3，－1)．∴A、B两点间的距离d＝3－32＋[1－（－1）]2＝2.解析：解法一如图所示，∵∠AOB＝π3，又OA＝OB＝2，∴△ABO为等边三角形．∴AB的长度为2.五、考点练习：2将参数方程x＝1＋4cost，y＝－2＋4sint(t为参数，0≤t≤π)化为普通方程，并说明方程表示的曲线．解析：∵0≤t≤π，∴－3≤x≤5，－2≤y≤2.∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，∴曲线的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)．它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，4为半径的上半圆．3将方程x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)化为普通方程．解析：由x＝t＋1≥1，有t＝x－1，代入y＝1－2t得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1，1)为端点的一条射线(包括端点)．点评：将参数方程化为普通方程时，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性．小结1、参数方程化为普通方程的基本方法是：代入法、三角法、整体消元法。注意：变量X、Y的范围保持一致。2、极坐标与普通方程的互化公式，点M直角坐标（x.y）极坐标（ρ，θ）（ρ≧0）互化公式在一般情况下,由tanθ确定角时，可根据点M所在的象限取θ∈[0，2π)的最小正角.3、熟记基本曲线的极坐标与普通方程谢谢指导！再见！