高考复习函数性质专题之(高中教研之函数篇)

函数篇一、考察函数的概念与性质（三要素、图像、奇偶性、对称性、单调性、周期性）（一）、求函数的定义域（注意含根式函数，对数函数，分式函数的形式），值域（图像法、单调性法、反函数法、分离系数法、判别式法等等）例1、（2007年1）函数3)4lg(xxy的定义域是．34xxx且（二）、若函数)(xfy的图像关于直线ax对称，则有)()(xafxaf或)()2(xfxaf等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数)(xfy的图像关于直线ax的对称曲线是函数)2(xafy的图像，函数)(xfy的图像关于点),(ba的对称曲线是函数)2(2xafby的图像.例2、若函数)1(xfy是偶函数，则)(xfy的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.分析：由)1(xfy是偶函数，则有)1()1(xfxf，即)1()1(xfxf，所以函数)(xfy的图像关于直线1x对称.或函数)1(xfy的图像是由函数)(xfy的图像向右平移一个单位而得到的，)1(xfy的图像关于y轴对称，故函数)(xfy的图像关于直线1x对称.例3、若函数)(xfy满足对于任意的Rx有)2()2(xfxf，且当2x时xxxf2)(，则当2x时)(xf＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由)2()2(xfxf知，函数)(xfy的图像关于直线2x对称，因而有)4()(xfxf成立.2x，则24x，所以)4()4()4()(2xxxfxf.即2x时209)(2xxxf.（三）、若函数)(xfy满足：)0)(()(aaxfaxf则)(xf是以a2为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数)(xfy满足：)0)(()(axfaxf则)(xf是以a2为周期的函数.（注意：若函数)(xf满足)(1)(xfaxf，则)(xf也是周期函数）例4、已知函数)(xfy满足：对于任意的Rx有)()1(xfxf成立，且当)2,0[x时，12)(xxf，则)2006()3()2()1(ffff＿＿＿＿＿＿.分析：由)()1(xfxf知：)()1(]1)1[()2(xfxfxfxf，所以函数)(xfy是以2为周期的周期函数.1)0()2()2004()2006(ffff，1)1()3()2003()2005(ffff，故意原式值为0.随堂练习：已知函数满足：()(2)13,(1)1,求(2013)ffff（四）、奇函数对定义域内的任意x满足0)()(xfxf；偶函数对定义域内的任意x满足0)()(xfxf.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数)(xfy是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若)(xfy是奇函数且)0(f存在，则0)0(f；反之不然.例5、若函数axfx121)(是奇函数，则实数a＿＿＿＿＿＿＿；分析：注意到)0(f有意义，必有0)0(f，代入得21a.这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍.例6、若函数3)2()(2xbaxxf是定义在区间]2,12[aa上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：函数是偶函数，必有0)2()12(aa，得1a；又由()yfx是偶函数，因而2b.即]3,3[(3)(2xxxf，所以此函数的值域为]3,6[.（五）、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数)(xfy的图像关于直线ax对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.例7、若函数)(xfy是定义在区间]3,3[上的偶函数，且在]0,3[上单调递增，若实数a满足：)()12(2afaf，求a的取值范围.分析：因为)(xfy是偶函数，)()12(2afaf等价于不等式)(|)12(|2afaf，又此函数在]0,3[上递增，则在]3,0[递减.所以2|12|3aa，解得211a.（六）、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数)0,(,baxbaxy的单调性.例8、已知函数)0(1)(axaxxf在),1[x上是单调增函数，求实数a的取值范围.分析：函数)0,(,baxbaxy称为“耐克”函数，由基本不等式知：当0x时，函数的最小值是ab2，当abx时等号成立.],0(abx时，函数递减；),[abx时，函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较方便.函数)0(1)(axaxxf在),1[上递增，则11a，得1a.但若是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证.任设),,1[,21xx且21xx.)1)(()()(212121xxaxxxfxf，由函数)(xf是单调增函数，则0)()(21xfxf，而021xx，则0121xxa.所以211xxa对于),,1[,21xx且21xx恒成立，因1121xx，故1a.需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，因为“大题”需要严格的论证过程.（七）、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数)(xfy的图像，作出函数axfyaxfyxfyxfyxfy)(),(|,)(||),(|),(的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注|)(||),(|xfyxfy的图像.例9、函数|1|12|log|)(2xxf的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：函数|1|12|log|)(2xxf的图像是由函数xy2log的图像经过下列变换得到的：先将函数xy2log的图像上各点的横坐标缩短到原来的21（或将函数xy2log的图像向上平移1个单位）得到函数xy2log2的图像，再将函数xy2log2的图像作关于y轴对称得到函数|2|log2xy的图像，再将函数|2|log2xy的图像向右平移21个单位，得到函数|12|log2xy的图像，再将函数|12|log2xy的图像向下平移1个单位得到函数1|12|log2xy，最后将函数1|12|log2xy的图像在x轴下方部分翻折到x轴上方得到函数|1|12|log|)(2xxf的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与x轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是)1,21[与),23[.需要注意的是：函数图像变化过程：|)(||)(|)(axfyxfyxfy与变化过程：|)(|)()(axfyaxfyxfy不同.前者是先作关于y轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线ax对称.二、考察一元二次函数（一）、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.例1、求函数12)(2axxxf在区间]3,1[的最值.分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.)1(22)1(610)(maxaaaaxf，)1(610)31(1)1(22)(2minaaaaaaxf.（二）、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.例2、已知关于x的不等式5|3|ax的解集是]4,1[，则实数a的值为.分析：若是从解不等式入手，还应考虑常数a的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案：解集端点值4,1是方程5|3|ax的根.则5|34|5|3|aa得21282或或aa，知2a.例3、解关于x的不等式：)(0122Raaxax.分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当0a时，此不等式是恒成立的，则其解集为R.当0a时，才是二次不等式.与其对应的方程为0122axax，根判别式aa442.当0，即1a或0a时，方程两根为aaaax22,1；当0，即1a时，方程有等根1x；当0，即10a时，方程无实根.结合二次函数的图像知：1a时不等式的解集为),(),(22aaaaaaaa；当1a时，不等式的解集为),1()1,(；当10a时，不等式的解集为R；当0a时，不等式的解集为),(22aaaaaaaa.三、考察函数的反函数（一）、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.例1、函数])2,((),22(log)(22xxxxf的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：令)22(log22xxy，则12)1(22222yyxxx.因为2x，所以11x，则121yx，121yx.又原函数的值域为),1[，所以原函数的反函数为)1(121)(1xxfx.（若是从反函数表达式得012x求得0x就不是反函数的定义域）.（二）、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线xy对称；若函数)(xfy的定义域为A，值域为C，CbAa,,则有aaffbbff))((,))((11.)()(1bfaafb.需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如)2(xfy反函数不是)2(1xfy.例2、已知函数)(xfy的反函数是)(1xfy，则函数)43(21xfy的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用y表示,x然后将yx,互换即得反函数的表达式.由)43(21xfy可得]4)2([31)2(432)43(1yfxyfxyxf.所以函数)43(21xfy的反函数为]4)2([31xfy.例3、已知02,)(log0,2)(2xxxxfx，若3)(1af，则a＿＿＿＿.分析：由3)(1af得)3(fa，所以8a.（三）、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必