金堂中学高2016届补习班数学周(4)

1金堂中学高2016届补习班数学周练（4）一、选择题（本题共12小题，每小题5分）1．已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N=()A．{0}B．{0，3}C．{1，3，9}D．{0，1，3，9}2．如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2等于()A．3﹣4iB．﹣3﹣4iC．﹣3+4iD．3+4i3．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如图所示，则该几何体的体积为()A．B．C．D．4．（理）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2（文）在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A.12B.13C.14D．15．若抛物线x2=4y的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则b的值为()A．3B．4C．6D．86．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则等于()A．﹣11B．﹣7C．5D．117．在给定程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为()A．B．C．D．8．若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+2分成面积相等的两部分，则k的值为()A．1B．2C．3D．49．给出下列命题：①命题：“∃x0＞0，sinx0≤x”的否定是：“∀x＞0，sinx＞x”；2②函数f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；③在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；④设m，n为直线，α为平面，若m∥n，m∥α，则n∥α．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．410．已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），则角α的最小正值为()A．B．C．D．11．设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为，则渐近线的斜率为()A．B．C．1或﹣1D．12．正项等比数列{an}中的40262,aa是函数f（x）=13123xmxxm＜﹣1）的极值点，则2014lna的值为()A．1B．﹣1C．0D．与m的值有关二、填空题（每小题4分，共20分）13．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量﹣=__________．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=且a＞b，则∠B=__________．15．若tan20°+msin20°=，则m的值为__________．16．球O是四面体ABCD的外接球（即四面体的顶点均在球面上），若AB=CD=2，AD=AC=BD=BC=，则球O的表面积为__________．3三、解答题（本大题共5小题）17．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值及相应的x的值．418．(理)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40间产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的数学期望．（文）(2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．19．(理)在三棱柱P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PB=PC=，BC=4，PA=m（m＞0）（Ⅰ）当m为何值时，点A到平面PBC的距离最大，并求出最大值；（Ⅱ）当点A到平面PBC的距离取得最大值时，求二面角A﹣PB﹣C的大小的余弦值．（文）已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm和30cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．520．椭圆+=1（a＞b＞0）在第一象限的部分与过点A（2，0）、B（0，1）的直线相切于点T，且椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（2）设F1，F2为椭圆的左，右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．21．已知函数f（x）=2x﹣8x+6lnx．（Ⅰ）如果f（x）在区间（m，m+）上单调函数，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若对任意k∈[﹣1，1]，函数y=kx﹣a（这里a＜3），其中0＜x≤6的图象总在函数f（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．6选做题选修4-1几何证明选讲22．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若sin∠ABC=，PA=10．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求AD•DE的值．选修4-4，极坐标与参数方程23．已知曲线C：（θ为参数），直线l：（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l在y轴上的截距；（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5，不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣|x+3|+a，a∈R（1）解关于x的不等式g（x）＞6；（2）若函数y=2f（x）的图象恒在函数y=g（x）的上方，求实数a的取值范围．7金堂中学高2016届补习班数学周练（4）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D．2．B．3．D．4．解答：解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．故选：C．4.（文）B5．A．6．B．7．．解答：解：是几何概型，所有的基本事件Ω=，设能输出数对（x，y）为事件A，则A=，S（Ω）=1，S（A）=∫01x2dx=x3=．故选：B．8．A.9．B．10．D．11．解答：解：双曲线的渐近线方程为不妨设A在第一象限，则A（c，），∴直线AF1的方程为8即∴原点O到直线AF1的距离为∵原点O到直线AF1的距离为，∴∴∴故选D．12．C．点评：本题考查等比数列以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题13．（﹣3，﹣4）．14．30°15．4．16．解答：解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=2，AD=AC=BD=BC=，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形，AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD）DE===，DF=CD=，EF===1，∴GF=EF=，球半径DG===，∴外接球的表面积为4π×DG2=9π，故答案为：9π．．三、解答题17．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1=sin（2x+）+cos（2x﹣）9=cos2x+sin2x=2sin（2x+），故函数f（x）的最小正周期为=π．（Ⅱ）对于函数f（x）=2sin（2x+），由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，故当2x+=，即x=时，函数f（x）取得最大值为2；当2x+=，即x=时，函数f（x）取得最小值为2×（﹣）=﹣．18．解答：解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（Ⅱ）Y的所有可能取值为0，1，2；P（Y=0）==，P（Y=1）==，P（Y=2）==，Y的分布列为：Y012P∴EY=0×+1×+2×=．点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及组合及组合数公式的应用，考查数学期望．属于中档题．18.解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝418＝29.19．解答：解：（Ⅰ）取BC的中点D，连结AD、PD，过A作AE⊥PD于点E．10∵PB=PC=，PA⊥底面ABC，∴PD为△PBC中BC边上的高，∴△ABC为等腰三角形，从而AD为△ABC中BC边上的高，易知AE⊥BC，又AE⊥PD，∴AE⊥平面PBC，∴AE即为点A到平面PBC的距离，∵PB=PC=，BC=4，PA=m（m＞0），∴CD==，PD==，AD==，∵，∴=≤=，当且仅当m2=18﹣m2，即m=3时等号成立，∴当m=3时，点A到平面PBC的距离最大，最大值为；（Ⅱ）当点A到平面PBC的距离取得最大值，即m=3时，有PA=3，AD==3，AB=AC==，如图，以点A为原点建立坐标系，则A（0，0，0），C（0，，0），P（0，0，3），根据三角形面积的不同表示形式，易得得B（，，0），从而=（0，0，3），=（，，﹣3），=（0，﹣，3），设平面PBA的法向量为=（x1，y1，z1），平面PBC的法向量为=（x2，y2，z2），由，，即，，取，x2=1，可得平面PBA的一个法向量为=（，，0），平面PBC的一个法向量为=（1，，），11==，∴二面角A﹣PB﹣C的大小的余弦值为．19.解如图所示，三棱台ABC—A1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．由题意知A1B1＝20，AB＝30，则OD＝53，O1D1＝1033，由S侧＝S上＋S下，得12×(20＋30)×3DD1＝34×(202＋302)，解得DD1＝1333，在直角梯形O1ODD1中，O1O＝DD21－OD－O1D12＝43，所以棱台的高为43cm.20．解答：解：（I）∵椭圆的离心率e=，∴，∴=，∴a2=b2+c2=4b2，椭圆+=1（a＞b＞0）化为x2+4y2=4b2．直线AB的方程为：，化为x+2y=2，12联立，化为x2﹣2x+2﹣2b2=0，∵直线与椭圆相切，∴△=4﹣4（2﹣2b2）=0，解得b2=，∴a2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）由（I）可得：T，，F2．∴===tan∠AF1T．∵M为线段AF2的中点，∴M，∴kTM==，∴tan∠ATM===，∴tan∠ATM=tan∠AF1T，且∠ATM与∠AF1T都是锐角．∴∠ATM=∠AF1T．21．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2﹣8x+6lnx，∴f′（x）=2x﹣8+=，令f′（x）＞0，解得：x＞3或0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，若f（x）在区间（m，m+）上单调，则或或m≥3，解得：0≤m≤或1≤m≤或m≥3；（Ⅱ）由题意：kx﹣a＞f（x）在x∈（0，6]恒成立，得kx﹣a＞6lnx+x2﹣8x在x∈（0，6]恒成立，即a＜﹣x2﹣6lnx+（8+k）x在x∈（0，6]恒成立，设g（x）=﹣x2﹣6