选修4-4第一讲教案

§1.1.1平面直角坐标系教学目标：（1）学会用坐标法来解决几何问题。（2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联系，知道图形之间是可以类与类变换的。教学重点：应用坐标法的思想解决集合问题。教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用。通过典型习题的讲解、剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。教学方法：探究法、讲授法教学过程：一、课题导入：通过直角坐标系，平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数形结合。根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法。下面我们先回顾直角坐标系中解决问题的过程，体会坐标法在实际问题中的应用。二、新知探究：思考：声响定位问题某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）(2004年广东高考题)解：以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(1020,0),B(－1020,0)C(0,1020)设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，故|PA|－|PB|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，用y=-x代入上式，得：，∵∣PA∣＞∣PB∣答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处。总结：解决此类应用题的关键：建系－设点（点与坐标的对应）－列式（方程与坐标的对应）－化简－说明三、知识应用：例：已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=5a2，BE、CF分别为边AC、CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。（具体解答过程见教材P4）12222byax)0(13405680340568010201020,6802222222222xyxacbca故双曲线方程为10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即5680xm10680四、知识归纳：你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。五、课堂练习：达标P3知识点与基础练习六、小结：体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题七、作业：P81、2教学后记：§1.1.2平面直角坐标系中的伸缩变换教学目标：（1）能用变换的观点来观察图形之间的因果联系，知道图形之间是可以类与类变换的。（2）掌握变换公式，能求变换前后的图形或变换公式。教学重点：掌握变换公式。教学难点：掌握、体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。教学方法：探究法、讲授法教学过程：一、课程导入：上一节课我们进一步理解和体会了坐标法在实际问题中的应用，这一课时我们来研究坐标的变换问题。二、新知探究：1、提出问题：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。2、探究结果：（1）在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：如右图：坐标对应关系为：x´=1/2xy´=y通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。（2）在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。设点P（x,y）经变换得到点为P´(x´,y´)x´=xy´=3y通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。（3）在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.设点P（x,y）经变换得到点为P´(x´,y´)x´=1/2xy´=3y通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。-2O2yxy=sinxy=sin2xπ2π①①②②③③3、知识总结归纳：定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换x´=λx(λ＞0)y´=μy(μ＞0)的作用下，点P(x,y)对应P´(x´,y´)。称为平面直角坐标系中的伸缩变换。注：（1）λ＞0，μ＞0；（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。三、知识应用与练习1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x´=xy´=3y后的图形。（1）2x+3y=0；(2)x2+y2=12、在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x´2+y´2=1思考：在伸缩下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？四、小结：掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。五、作业：P84、5教学后记：④φ:φ④§1.2.1极坐标系的概念教学目标：1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。教学重点：极坐标系的理解与应用教学难点：极坐标系的概念。加强与直角坐标系的联系理解极坐标系的概念，通过实例的应用与分析突破难点。教学方法：探究法、讲授法教学过程：一、课题导入：思考定位问题，上一节的问题中，外面用“在信息中心的西偏北45°方向，距离处”描述了巨响的位置，这种描述方式与我们以往所学的直角坐标系定位有什么关系呢？先我们一起来探究一个问题——导入探究问题。二、新知探究：思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：（1）你会怎样描述图书馆、体育馆、办公楼、实验楼的相对位置？这些描述的对应位置是否惟一确定？m10680办公楼E实验楼DC图书馆B体育馆A教学楼60m50m120m60°45°（2）他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（3）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？探究结果：（1）方位描述与直角坐标描述，位置是惟一确定。（2）到达图书馆，该位置惟一确定。（3）正东方向60m处与西北方向50m处。重点在于加强直角坐标系中的有序实数对表示点的坐标，为极坐标系的引入奠定基础。（一）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。（二）极坐标的表示与注意点：对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。三、知识应用：例1：如图，在极坐标系中，写出A、B、C的极坐标，标出点D（2，π/6），EOM（ρ，θ）xθρ（4，3π/4），F（3.5，5π/3）所在的位置。标出点G（4，11π/4），H（4，-5π/4）所在的位置。具体解答详见教材P9例2：在右图中，用点A、B、C、D、E分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置，建立适当的极坐标系，写出个点的极坐标。具体解答详见教材P10特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。思考：①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？极坐标系下点与它的极坐标的对应情况：1、给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。2、给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。一般地，若(ρ,θ)是一点的极坐标，则(ρ,θ+2kπ)、都可以作为它的极坐标。如果限定ρ＞0，0≤θ＜2π或－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了.四、课堂练习：P121、2EDCBA（O）60m50m120m60°45°x五、小结：1、建立一个极坐标系需要哪些要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。2、极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数种。是因为极角引起的。3、一点的极坐标有否统一的表达式？有。（ρ，2kπ+θ）六、作业：教学后记：§1.2.2极坐标系与直角坐标系的互化教学目标：1、掌握极坐标和直角坐标的互化关系式2、会实现极坐标和直角坐标之间的互化教学难点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学重点：互化关系式的掌握教学方法：探究法、讲授法教学过程：一、课题导入：1、导入练习：在极坐标系中描出下列各点：2、问题:极坐标系是怎样定义的？极坐标系与直角坐标系有何异同?二、新知探究：思考：平面内的一个点的直角坐标是(1,)，这个点如何用极坐标表示?探究结果：在直角坐标系中，以原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并且两种坐标系中取相同的长度单位。(3,)6A(2,)2B(1,)2C(3,)4D3(2,)4E5(2,)4F11(2,)4G3yxMO点M的直角坐标为（1，），设点M的极坐标为(ρ,θ)极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)，极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.三、知识应用：例1.将点M的极坐标化成直角坐标。解:所以,点M的直角坐标为例2.将点M的直角坐标化成极坐标。解:因为点在第三象限,所以因此,点M的极坐标为四、课堂练习：1、已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。322132（）3tan31222,tan(0)yxyxx2(5,)3255cos32x2535sin32y553(,)22(3,1)22(3)12（）13tan33767(2,)6(3,)6A(2,)2B(1,)2C3(,)24D3(2,)4E2、已知点的直角坐标,求它们的极坐标.E（-3，-3）五、小结：掌握极坐标和直角坐标的互化六、作业：教学后记：(3,3)A(1,3)B(5,0)C(0,2)D§1.3.1圆的极坐标方程教学目的：1、认识曲线的极坐标方程的条件，比较与曲线与直角坐标方程的异同。2、掌握各种圆的极坐标方程。3、能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形教学重点：总结怎样求极坐标方程的方法与步骤教学难点：极坐标方程是涉及长度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题，要使用旧的三角知识。教学方法：探究法、讲授法教学过程：一、复习引入1、复习：曲线的方程概念：……2、讨论回答：曲线的极坐标方程概念：……二、新知探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？思路分析：1、先和学生一齐在黑板上画出圆与极坐标轴2、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上明确标出来、即明确长度与角度是哪一边，哪一个角OAC(a,0)