第一至第六届全国大学生高等数学竞赛真题(非数学类)

2009-2015年全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(____________，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf____________.3．曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是__________.4．设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy________________.二、（5分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.三、（15分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0x处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.五、（10分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(xun满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn,且neun)1(,求函数项级数1)(nnxu之和.八、（10分）求1x时,与02nnx等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nnxaaa其中||1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex。（3）设0s，求0(1,2,)sxnIexdxn。（4）设函数()ft有二阶连续导数，221,(,)rxygxyfr，求2222ggxy。（5）求直线10:0xylz与直线2213:421xyzl的距离。二、（15分）设函数()fx在(,)上具有二阶导数，并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0x，使得0()0fx。三、（15分）设函数()yfx由参数方程22(1)()xtttyt所确定，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t。四、（15分）设10,,nnnkkaSa证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散。五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中2221)的直线，均匀椭球2222221xyzabc，其中（0,cba密度为1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)的最大值和最小值。六、(15分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422()cxydxxdyxy的值为常数。（1）设L为正向闭曲线22(2)1,xy证明422()0;cxydxxdyxy（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydxxdyxy。2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos0sinlimxxxx；（2）.求111lim...12nnnnn；（3）已知2ln1arctanttxeyte，求22dydx。二．（本题10分）求方程2410xydxxydy的通解。三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且'0,0,0fff均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,kkk，使得12320230lim0hkfhkfhkfhfh。四．（本题17分）设2221222:1xyzabc，其中0abc，2222:zxy，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五．（本题16分）已知S是空间曲线22310xyz绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）取上侧，是S在,,Pxyz点处的切平面，,,xyz是原点到切平面的距离，,,表示S的正法向的方向余弦。计算：（1）,,SzdSxyz；（2）3SzxyzdS六．（本题12分）设f(x)是在,内的可微函数，且fxmfx、，其中01m，任取实数0a，定义1ln,1,2,...,nnafan证明：11nnnaa绝对收敛。七．（本题15分）是否存在区间0,2上的连续可微函数f(x)，满足021ff，201,1fxfxdx、？请说明理由。2012第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（本大题共5小题，每小题6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）(1)求极限21)!(limnnn(2)求通过直线034550232:zyxzyxl的两个互相垂直的平面1和2，使其中一个平面过点)1,3,4(。(3)已知函数byaxeyxuz),(，且02yxu。确定常数a和b，使函数),(yxzz满足方程02zyzxzyxz(4)设函数)(xuu连续可微，1)2(u，且udyuxudxyx)()2(3在右半平面与路径无关，求),(yxu。(5)求极限dttttxxxxcossinlim13二、（本题10分）计算dxxexsin20三、求方程50121sin2xxx的近似解，精确到0.001.四、（本题12分）设函数)(xfy二阶可导，且0)(xf，0)0(f，0)0(f，求uxfufxx330sin)()(lim，其中u是曲线)(xfy上点))(,(xfxP处的切线在x轴上的截距。五、（本题12分）求最小实数C，使得满足1)(10dxxf的连续函数)(xf都有Cdxxf)(10六、（本题12分）设)(xf为连续函数，0t。区域是由抛物面22yxz和球面2222tzyx)0(z所围起来的部分。定义三重积分dvzyxftF)()(222求)(tF的导数)(tF七、（本题14分）设nna1与nnb1为正项级数，证明：（1）若01lim11nnnnnbbaa，则级数nna1收敛；（2）若01lim11nnnnnbbaa，且级数nnb1发散，则级数nna1发散。2013第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限2lim1sin14nnn.2.证明广义积分0sinxdxx不是绝对收敛的3.设函数yyx由323322xxyy确定，求yx的极值。4.过曲线30yxx上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标。二、（满分12）计算定积分2sinarctan1cosxxxeIdxx三、（满分12分）设fx在0x处存在二阶导数0f，且0lim0xfxx。证明：级数11nfn收敛。四、（满分12分）设,0fxfxaxb，证明2sinbafxdxm五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分33323Ixxdydzyydzdxzzdxdy。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。六、（满分14分）设22aaCydxxdyIrxy，其中a为常数，曲线C为椭圆222xxyyr，取正向。求极限limarIr七（满分14分）判断级数1111212nnnn的敛散性，若收敛，求其和。2014年全国大学生数学竞赛预赛试题非数学类一、填空题(共有5小题，每题6分，共30分)1.已知xey1和xxey1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是____________________________________2.设有曲面222:yxzS和平面022:zyxL。则与L平行的S的切平面方程是_______________________________3.设函数)(xyy由方程xydttx124sin所确定。求0xdxdy_______________4.设nknkkx1)!1(。则nnxlim______________________5.已知310)(1limexxfxxx。则20)(limxxfx____________________二、（本题12分）设n为正整数，计算121lncosnedxxdxdI。三、（本题14分）设函数)(xf在]1,0[上有二阶导数，且有正常数BA,使得Bxf|)(|。证明：对任意]1,0[x，有22|)('|BAxf。四、（本题14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺体积为2)3(3hhR。球冠面积为Rh2；（2）设球体12)1()1()1(222zyx被平面6:zyxP所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型曲面积分zdxdyydzdxxdydzI五、（本题15分）设f在],[ba上非负连续，严格单增，且存在],[baxn，使得bannndxxfabxf)]([1)]([。求nnxlim六、（本题15分）设2222221nnnnnnnAn。求nnAn4lim2015第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）（1）极限2222sinsinsinlim12nnnnnnnn.（2）设函数,zzxy由方程,0zzFxyyx所决定，其中,Fuv具有连续偏导数，且0uvxFyF。则zzxyxy.（3）曲面221zxy在点1,1,3M的切平面与曲面所围区域的体积是.（4）函数3,5,00.0,5xfxx在5,5的傅立叶级数在0x收敛的值是.（3）设区间0,上的函数ux定义域为的20xtuxedt，则ux的初等函数表达式是.二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。三、（12分）设fx在,ab内二次可导，且存在常数,，使得对于,xab，有fxfxfx，则fx在,ab内无穷次可导。四、（14分）求幂级数30211!nnnxn的收敛域，及其和函数。五