第三章系统的教学模型

13系统的数学模型3.1概述3.1.1数学模型在进行控制系统分析和设计时，通常首先需要建立系统的数学模型。所谓系统的数学模型，是用数学方程式来描述机械系统、电气系统、……以及生物系统、社会系统的动态特性，是一组能精确，或者至少是相当好地表示系统动态特性的微分方程式、差分方程式或其它数学方程表示式。数学模型可以有多种形式，采取何种形式来建立数学模型取决于具体的系统及条件，如，一个单输入单输出简单系统的响应分析，可能采用传递函数形式比较简单方便，而如要进行最优控制，则采用状态空间表达式可能更为有利。对于同一系统的描述，数学模型也可能具有不同的复杂程度。如以一个液压控制阀为例，如果是考虑它在一个复杂系统中的动作，可以用一个二阶微分方程式（基于牛顿第二运动定理）来做为其数学模型，而如果是为了设计这个控制阀并预测其性能，则需要考虑阀的泄漏，尺寸精度影响等更多因素，所建立的数学模型可能是一个6-7阶的微分方程组。另一方面，严格地说，任何实际中的电、机械系统、液压系统、气动系统等其变量间的关系都不是绝对性线的，有些甚至是严重非线性的。然而，由于至今非线性系统的求解依然存在着数学难关，比较常用的做法是用一个“等效”的或“近似”的线性系统代替实际上的非线性系统来分析和求解。这意味着，我们既要掌握在建立数学模型时的线性化方法，又要了解所取的“线性”数学模型有效的范围和条件。3.1.2数学模型表示形式控制系统的数学模型通常采用以下几种表示形式：1．传递函数模型一个连续的SISO系统，一般可用一个常定系数线性常微分方程来描述2若系统的输入为u(t)，输出的y(t)，其微分方程可表示为：)()()()(01111tyadetdyadttydadttydannnnnn)()()(0111tubdttudbdttudbmmmmmm（3.1-1）对该式进行Laplace变换，可得系统的传递函数模型011011)()()(asasabsbsbsUsYsGnnnnmmmm（3.1-2）离散时间动态系统一般以差分方程描述，对一个离散SISO系统，设采样周期为T，系统输入为u(i)，输出为y(i)，可描述为：)()1()(01iygniygniygnn)()1()(01iufmiufmiufmm对该方程进行Z变换，可得离散SISO系统的传递函数模型。011011)()()(gzgzgfzfzfZUZYzGnnnnmmmm（3.1-4）对于多输入多输出系统，系统的传递函数模型为传递函数矩阵。2．状态空间模型状态方程是现代控制理论中最常用的数学模型表示形式，它可以方便地表示SISO或MIMO系统。对于一个连续LTI系统，其状态方程可描述为：)()()(tButAxtx)()()(tDutCxty（3.1-5）其中，第一个方程称为状态方程，第二个称为输出方程。x(t)——状态变量u(t)——输入变量，或控制变量3y(t)——输出变量对于离散的LTI系统，其状态空间模型形式为：)()()1(kGukFxkx)()()(kDukCxky（3.1-6）可由（3.1-5）式离散化得到此时F=exp(ATs)BdTsAGTx]exp[0这里，Ts为采样周期。3．零极点模型零极点模型实际上是传递函数模型的一种特殊形式，它将系统表示为零点（Zero）、极点（Pole）和增益（Gain）相乘的形式：)())(()())(()(2121nmpspspszszszsksG（3.1-7）这里，k为系统增益，zI,i=1，2，…，m为系统的m个零点，Pi,i=1,2,…,n为系统的n个极点。3.1.3数学模型的建立方法系统的数学模型可以通过两条不同途径来建立。一条途径是利用“自然法则”和从先前的研究中了解到的性质，即根据被控对象性质，应用有关的基础学科的基本定律，如牛顿运动定律、热平衡方程式等，用解析的方法导出描述被控对象运动变化规律的数学表达式而建立系统的数学模型。这条途径被称之为“解析法”，它可以不涉及实际系统的任何实验。另一条途径是通过实验，依靠测取被研究的实际系统的输入输出信号，并对这些数据进行分析以推断一个模型，使得这个系统模型与实际系统具有等同的或近似的动态特性。这条途径是系统辩识。4有关系统辩识的内容我们将在下一章讨论，在下一节中，我们将通过对一个控制系统建模的举例来了解解析法建立系统数学模型的基本方法。3.2系统数学模型建立举例。汽车主动悬架是近年来国外一些高档轿车的开始应用的一种汽车主动隔振装置，其基本结构是在每个车辆上装置一个由控制阀和执行器（油气缸）构成的悬架系统。图3.1所示为一主动悬架系统示意图。图中,两个高速开关阀（阀1和阀2）分别联接着油泵与油气缸和油气缸与油箱。当要求油气缸内油压Pa上升时，让阀2保持关闭，而对阀1进行控制使油泵通过其向油气缸输入一定流量的油而使油压Pa增加。当要求油气缸内油压下降时则反之进行。从而，通过调节油气缸内的油压而抑制车体的振动，对于高频振动，则利用油气缸中气室的弹簧吸收能量来减振。图3.1汽车单轮主动悬架系统示意图对图3.1所示系统，应用有关定律，可列出如下数学方程式：（a）根据牛顿运动定律，可得车体、车轮轴的垂直方向运动方程式为：gMAcpPxxCaxMbawbbb)(（3.2-1）5gMxxKAcpPxxCaxMbrwtawbww)()(（3.2-2）（b）油气缸内液体压强与流量的关系式。考虑油气缸内的流体为可压缩性，根据流体压强与其压缩量的关系：VVKPuwbaoaqxxAcpqVcKP)(（3.2-3）（c）气体室内气体的状态方程式根据热力学定理PVr=C，可推得gaogogVqPrP/（3.2-4）（d）根据节流口流量方程式，可推得通过油气缸上下瞬间节流孔的流量方程式为：/2gaaoPPAaoCaoq（3.2-5）（e）通过高速开关阀的流量方程式为：阀1/)(211aSvvuppaCq（3.2-6）阀2/222avvuPaCq（3.2-7）上述各式中，Aao为油气缸内节流孔的开口面积；Acp为油气缸内活塞上压力油作用面积；av1，av2为阀1、阀2的开口过流面积；Ca为粘性阻尼系数，Cco，Cv1，Cv2为流量系数。Mb、Mw为车体（1/4）车轮轴部分的质量；K为油的体积弹性系数；Kt为轮胎的弹性系数；Pa,Pg为油气缸上腔油室及气室内的压强；qao为通过油气缸上下腔间节流口的流量；qu为通过阀1和阀2的控制流量，Vc，Vg为油气缸上腔油室、气体室的容积；xb.xw.xr为车体，车轮轴、路面的垂直方向位移；ρ为油的密度；r为气体的绝热指数。式（3.2-1）～（3.2-7）构成一个微分方程组，给出一定初始条件，求解这组微分方程（通常是数值解），可以求得系统的动态特性。6现代控制理论是建立在状态空间方程式分析基础上，因此，一般我们需要将数学模型表示为状态空间方程式，在本例中建立状态方程式模型时，我们做如下两个考虑。1）一个合格的控制阀，应当是输出流量（qu）与施加在其上的电信号基本保持线性关系。为了使所建立的状态空间方程式更为简洁，我们直接以进出油气缸的流量qu做为控制输入。2）（3.2-5）式为一个非线性方程，在将数学模型表示为状态空间方程式时必须进行线性化处理，处理过程如下：对（3.2-5）式按级数展开，并取前三项得：aPaaoaoAaoaoaobaoPPqAAqqq（3.2-8）式中，qaob为表示在平衡状态时通过油气缸上下腔间节流孔的流量（因此qaob=O）；又因为节流口面积Aao固定不变，因此0aoaoAq，于是有aaoaoPCq（3.2-9）21221aoaoaoPaoaaoaoPACpqC（3.2-10）Pao为平衡状态时油气缸内的油压。3）做为推导上的需要，新设一个方程式：rwwrxxx（3.2-11）在上述工作基础上，我们联系式（3.2-11），（3.2-1）～（3.2-4），并略加整理后，得：7rwwrxxxaobcpabcpwbabbabPMApMAxMCxMCxaowcpawcpwbabwawrwtwPMAPMAxMCxMCxMKx（3.2-12）ucgacaowccpbccpaqVKPPVCKxVKAxVKAp)()(gaaoggogppCvrpp式中，Pao，Pgo为系统在平衡状态时油气缸的油压强及气体压强，因此Pao=Pgo。我们令aoaappp；goggpppgagogaoagapppppppp)()(进一步，我们取状态变量TgawbwrppxxxX][控制变量uqu输出量bxy外扰rxd或（3.2-12）可用如下状态方程式来表示：EdBuAxxCxy（3.2-13）在式中：8gaogogaogocaocaoccpccpbcpbawawtbcpbabaVCrPVCrPVCKVCKVKAVKAMAMCMCMKMAMCMCA000000000100TcVKB0000TE0000100010C这样，我们就以状态空间方程式形式建立了图3.1所示的汽车主动悬架系统的数学模型。3.3MATLAB中系统数学模型的表示、转换与连接3.3.1系统数学模型的MATLAB表示（1）系统的传递函数模型对于系统011011)()()(asasabsbsbsVsYsGnnnnmmmm（3.3-1）在MATLAB中，可用其分子和分母多项式的系数（按S的降幂排列），所构成的两个向量来表示，即：num=[bm,bm-1,...bo]den=[an,an-1,...ao]sys=tf(num,den)（3.3-2）9对于离散时间系统，通过Z变换可得系统的脉冲传递函数011011)()()(gzfzgfzfzfzvzyZGnnnnmmmm（3.3-3）类似地，其MATLAB表示为：num=[fm,fm-1,...fo]den=[gn,gn-1,...go]sys=tf(num,den，T)（3.3-4）式中，T为采样周期。（2）系统的状态空间模型对于以状态空间形式表述的系统BuAxxDuCxy（3.3-5）在MATLAD中，可用：),,,(DCBAsssys（3.3-6）来表示，其中，A，B，C，D为系统状态方程系数矩阵。同样，对于离散系统的状态空间模型)()()1(kGukFxkX)()()1(kDukCxkY（3.3-7）可以表示为SYS=SS（F，G，C，D，T）（3.3-8）其中，T为采样周期（3）系统的零极点模型当系统模型采用零极点表达形式：)())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsG（3.3-9）时，MATLAB中可用ZPK函数来描述为：10sys=zpk(Z，P，K)(3.3-10)式中mzzzz,,21npppp,2,13.3.2系统模型的转换在前述几节我们已经知道，对于同一个系统可以采用传递函数，状态空间等不同形式的数学模型来表示，这些不同的形式的数学模型可能分别对不同的场合更为适宜，进行模型之间的相互转换是必要的。在数学上，如果已有系数的状态空间模型。BuAxxDuCxy（3.3-11）进行L氏变换后可得：)()()0()(sBusAxxxSx)()()(sDusCxsY（3.3-12）考虑零初始