第八讲三角形

学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第1页共9页第八讲三角形§8.1三角形基础知识知识梳理一、与三角形相关的概念（1）外角：三角形一边与_______延长线组成的角，叫做三角形的外角.（2）高：从三角形的一个顶点向______作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.（3）中线：在三角形中，连接____________与它对边中点的线段叫做三角形的中线.（4）角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与_______相交，则这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（5）中位线：连接三角形两边___________的线段叫做三角形的中位线.二、重要结论(1)三角形的内角和是______．(2)三角形的任意一个外角______与它不相邻的两个内角的和．三角形任意一个外角大于任何一个的内角.(3)三角形的任意两边之和______第三边，任意两边之差______第三边.(4)三角形的中位线于第三边且等于第三边的.考点呈现考点1三角形的分类例1（2012年滨州市）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：由角度比可以计算三角形的三个角依次为30°，45°，105°，所以这个三角形是钝角三角形．故选D．点评：先由三角形内角和定理求出三个角的大小，然后根据定义判断三角形的形状．考点2三角形角的关系例2（2012年呼和浩特市）如图1，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______°.BFDEAC解析：∵∠B=47°，∴∠BAC+∠BCA=180°–47°=133°.∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°.∵AE和CE是角平分线，∴∠CAE+∠ACE=113.5°.∴∠E=180°–113.5°=66.5°.点评：解答时能借助整体思想是关键.考点3三角形边的关系例3（2012年泸州市）若下列各组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是（）A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，8解析：根据三角形两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边进行判断.只有A项不能构成三角形.学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第2页共9页故选A.点评：判断三条线段能否构成三角形，牢记两规则“任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边”，一般选较小的两边的和与第三边比较即可.考点4三角形中的特殊线段例4(2012年德州市)不一定在三角形内部的线段是（）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.三角形的中位线解析：三角形的中位线、角平分线和中线都一定在三角形内部，而锐角三角形的高在内部，直角三角形其中一条高在内部，另外两条高与两直角边重合，钝角三角形有两条高线落在三角形外侧，故选C．点评：这里尤其要注意钝角三角形钝角所对边上的高在三角形的内部，其余两条高在三角形的外部．例5如图2，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E，F，G，H分别是AB，AC、CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．11解析：由BD⊥CD，BD=4，CD=3，根据勾股定理，可知BC=5.又E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，所以EH=FG=21AD=3，EF=HG=21BC=25，所以四边形EFGH的周长是11.故选D.点评：由线段中点联想到三角形中位线，用中位线定理解题．误区点拨1.对基本概念认识模糊例1下列说法正确的是（）A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高是一条垂线C.三角形的三条中线相交于一点D.三角形的中线、角平分线和高都在三角形内错解：A或B或D.剖析：选A是混淆了一个角的平分线与三角形角平分线的本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；选B是对三角形的高的定义理解有误，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高，因此三角形的高也是线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形其中一条高在内部，另外两条高与两直角边重合，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，故选D也是错误的.正解：C2.对三角形外角的性质理解不透例2如图3，△ABC中，在BC的延长线上取D，E两点，连接AD，AE，则下列式子正确的是（）A．∠ACB∠ACDB．∠ACB∠1+∠2+∠3C．∠ACB∠2+∠3D．以上答案都对学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第3页共9页错解：从图中直观可以看出∠ACB∠ACD，故选A.剖析：判断一个结论正确与否不能从直观上判断，必须从理论上去推导.三角形的外角大于不相邻的任何一个内角，而∠ACB和∠ACD是邻补角，它们的大小关系不能确定，所以A不能选.因为∠ACB是△ACE的外角，所以∠ACB=∠1+∠2+∠3，所以B选项不正确.因为∠ACB又是△ACD的外角，所以∠ACB∠ADC.又∠ADC是△ADE的外角，所以∠ADC=∠2+∠3，所以∠ACB∠2+∠3，所以选项C是正确的.正解：C.技法指导要知道能构成三角形的两个条件，并熟记三角形中几条特殊线段的性质定理，往往结合在几何证明中综合考查，计算时，三角形边、角未指明时，注意运用分类讨论思想.跟踪训练1.已知ABC△的一个外角为50°则ABC△一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形2.如图，△ABC与△ADC都是直角三角形，下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠BB．α的补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补3.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3B．2，2，4C．3，4，5D．3，4，84.如图，将一副三角尺折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则AOCDOB．5.如图，网格小正方形的边长都为1．在△ABC中，试画出三边的中线，然后探究三条中线位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？请说明理由．ABCD图3E123ABCDO学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第4页共9页§8.2三角形的性质和判定一、全等三角形性质(1)全等三角形的对应边______.(2)全等三角形的对应角______.判定(1)在同一平面内能够完全______（大小、形状都相等的三角形）的两个三角形全等（定义）(2)三边对应______的两个三角形全等（简写成“SSS”）；(3)两边和它们的______对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）；(4)两角和它们的______对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）；(5)两个角和其中一个角的对边对应______的两个三角形全等（简写成“AAS”）；(6)斜边和一条直角边对应______的两个直角三角形全等（简写成“HL”）．二、等腰三角形性质(1)等腰三角形两______相等；(2)等腰三角形底边上的高、中线、角的平分线______（简称等腰三角形“三线合一”）.判定(1)有两条边______的三角形是等腰三角形；(2)有两个角______的三角形是等腰三角形.三、等边三角形性质等边三角形的三个角都______，并且每一个角等于______.判定(1)三边都______的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的______是等边三角形；(3)有两个角是______的三角形是等边三角形.四、直角三角形性质(1)直角三角形两锐角______；(2)如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么______，即直角三角形______的平方和等于斜边的平方．判定(1)两锐角______的三角形是直角三角形；(2)如果三角形一边上的中线等于这边的______这个三角形是直角三角形；(3)在三角形中，若三边分别为a，b，c，并且______，那么这个三角形是直角三角形.考点呈现BAC学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第5页共9页考点1全等三角形例1（2012年义乌市）如图1,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连接CE，BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是______（不添加辅助线）.解析：已知一组对应边相等，一组对顶角相等，可以再添加一边或一角对应相等，用SAS或AAS判定两三角形全等．添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠FBD或∠DEC=∠DFB等）点评：关键要熟记全等三角形的四条全等判定定理，另外遇直角三角形有“HL“.例2（2012年武汉市）如图2，CE=CB,CD=CA,∠DCA=∠ECB.求证：DE=AB.解析：欲证DE=AB，可考虑证明它们所在的三角形全等，已有CE=CB,CD=CA两个条件，可考虑找夹角相等来证明全等.证明：∵∠DCA=∠ECB，∴∠DCE=∠ACB.∵CE=CB,CD=CA，∴△DEC≌△ABC(SAS).∴DE=AB.点评：证明线段、角相等可以考虑通过证明它们所在的三角形全等来实现.考点2等腰三角形例3（2012年淮安市）如图3，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D.若∠BAC=70º，则∠BAD=．解析：根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），可得∠BAD=12∠BAC=35º．点评：见到等腰三角形就要想到“三线合一”．例4如图4，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°,BC=6,把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为.60°C'DABC解析：由△ABC沿直线AD折叠,可知∠C′DA=60°，进而可得∠BDC′=60°，DC′=DC.又BD=CD,所以学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第6页共9页BD=DC′,因此△BC′D是等边三角形.从而得到BC′=3.点评：此类问题注意折叠前后线段、角之间的等量关系，正确挖掘隐含条件是解题的关键.考点3直角三角形例5在△ABC中，2:1:1::ABACBC，则△ABC是（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由题意，可设三角形三边长分别为a,a,2a，因为a2+a2＝（2a）2，故该三角形为等腰直角三角形.故选D.点评：题中已知三角形三边关系时，想到勾股定理逆定理的运用.例6点评：在直角三角形中，用勾股定理求出相关线段的长，从而确定三角形的形状是关键.误区点拨1.证明推理不严谨而致错例1已知:如图6，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点,且OB=OC.求证:AO⊥BC.错解：直接由OB=OC,得到OD平分∠BOC,进而由等腰三角形“三线合一”的性质证得垂直.剖析：一些同学在遇到等腰三角形问题时，往往会把非特殊线段看成特殊线段，如本例中的OD，在题设中没有说明它是角平分线，但这些同学却仅仅根据图形便断定它是角平分线，并作为应用条件而导致错误.正解：延长AO交BC于D.在△ABO和△ACO中,AOAOOCOBACAB所以△ABO≌△ACO.所以∠BAO=∠CAO,即∠BAD=∠CAD.又AB=AC，所以AD⊥BC，即AO⊥BC.2.证明时部分当全体而致错例2已知：如图7所示，点E，F在BC上，BECF，ABDC，BC．求证：AFDE．错解：在ABF△和DCE△中，ABDCBCBECF，，，∴(SAS)ABFDCE△≌△.∴AFDE．剖析：本题错在把BE，CF看成了ABF△和DCE△的边，拿部分当整体，参与了证明．解题过程中，要正确审题，切勿主观臆断，随意创造条件，证明中一定要步步有理有据．正解：∵BECF，∴BEEFCFEF，即BFCE．CDOBAABDCEF学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第7页共9页在ABF△和DCE△中，ABDCBCBFCE，，，∴(SAS)ABFDCE△≌△.∴AFDE．3.没有检验而致错例3（2012年肇庆市）等腰三角形两边