第1讲空间几何体的结构三视图和直观图

A级课时对点练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1．下列命题中，正确的是()A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B．四面体一定是三棱锥C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥解析：A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；对于C，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥；D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥．答案：B2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确．答案：D3．(2010·广东卷)如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′＝32BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是()解析：画三视图时，由内到外CC′为虚线，且虚线所在直线应垂直平分AB，故选D.答案：D4．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可能是()解析：当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12.答案：C5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.24a2B．22a2C.22a2D.223a2解析：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于a224＝22a2.故选B.答案：B二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)6．(2010·新课标全国卷)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．答案：①②③⑤7．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案：18．用任一个平面去截正方体，下列平面图形可能是截面的是________．①正方形；②长方形；③等边三角形；④直角三角形；⑤菱形；⑥六边形．解析：如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，平行于ABCD的截面为正方形，截面AA1C1C为长方形，截面AB1D1为等边三角形，取BB1、DD1的中点E、F，则截面AEC1F为菱形，取B1C1、D1C1、AB、AD的中点M、N、P、Q，过这四点的截面为六边形，截面不可能为直角三角形．答案：①②③⑤⑥三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)9．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图，如图．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝3a，AD是正棱锥的高，则AD＝3a，所以该平面图形(侧视图)的面积为S＝12×3a×3a＝32a2.10．已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC＝23，∴侧视图中VA＝42－23×32×232＝12＝23，∴S△VBC＝12×23×23＝6.B级素能提升练(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)1．(2010·佛山二模)一个不透明圆锥体的正视图(主视图)和侧视图(左视图)为两全等的正三角形．若将它倒立放在桌面上，则该圆锥体在桌面上从垂直位置旋转到水平位置的过程中，其中水平桌面上正投影不可能是()解析：圆锥体垂直位置时在桌面上的投影为圆，当旋转后，圆面与桌面不再平行，则在桌面的投影始终为椭圆．答案：C2．一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则组成这个几何体的正方体的个数最多有()A．12B．13C．14D．18解析：由题知，底部这一层最多摆放9个正方体，上面一层最多摆放4个正方体．答案：B二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．(2010·辽宁卷)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解析：通过已知三视图知，该几何体是四棱锥，其中一条棱与底面垂直，底面是正方形．底面边长为2，高为2，所以最长棱长为l＝22＋222＝23.答案：234．(2010·南京模拟)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为________．解析：如图所示，设球的半径为R，则所得球的截面圆的半径r＝R2－R22＝32R.球的截面圆的面积S′＝πr2＝π32R2＝3πR24，因为球的表面积S＝4πR2，于是有S′S＝316.答案：316三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)5．一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长．解：如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为xcm，则OC＝22x，∴22x30＝40－x40，解得x＝120(3－22)，∴正方体的棱长为120(3－22)cm.6．如图，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，轴截面上有P、Q两点，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问蚂蚁爬过的最短路径是多少？解：圆柱侧面沿母线AA1展开，得到下图的矩形．所以A1B1＝12·2πr＝πr＝10π(cm)．作QS⊥AA1于点S，在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，QS＝A1B1＝10π(cm)，∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋102＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径是10π2＋1cm.