相似矩阵与矩阵可对角化的条件

4.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件对角矩阵是最简单的一类矩阵.对任一n阶矩阵A，是否可将它化为对角矩阵，并保持A的许多原有的性质，在理论和应用方面都具有重要意义一.相似矩阵及其性质A,Bn43.PB..APABAB－1设为阶矩阵如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得＝则称矩阵与，记作相似定义341141,,5212511AQPQ设，P=，则阵例矩都可逆，1111341119.12521224PAP由19.24A可知114134412020.5152510707QAQA又所以由此可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是对角矩阵.然而，对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P，就可能使成为对角矩阵1PAP相似使同阶矩阵之间的一种重要关系，具有下述性质：设A,B,C为n阶矩阵，则1.身性A反A1,.EAEA证明由可以直接得到结论2.AB对称果性如，则BA1111.().ABAPBAPBPPBPBA-1证明由可知，存在可逆矩阵P，有P于是，，所以3.,.ABBCAC如果，则传递性11111,,,,..()()..ABBCnPQPAPBQBQCQPAPQCPQAPQCAC证明由必存在阶可逆矩阵，有于是（）即由此可得，相似矩阵还有下面的性质：,.4.7,ABAB设矩阵则之间具有相同的定特征值理1111,.B())det()detABABPPAPPAPPAPPAP证明只需证明具有相同的特征多项式实际上，由必存在可逆矩阵，使得＝，于是det(E-B)=det(E-)=det(E-)=det(E-（)＝det(E-A).所以，A,B具有相同的特征值.,,4.8.mmABABm设矩阵则其中定为正整数理B()()()()..mmmmmABAPBAPAPAPAPAPAB-1-1-1-1-1-1证由，存在可逆矩阵P，有P，于是PPPPP所以对于相似矩阵还有以下性质：1.相似矩阵的行列式相等.2.相似矩阵的秩相等.3.相似矩阵或都可逆或都不可逆.二.矩阵可对角化的条件,.nAnAA如可对角化果阶矩阵可以与相似于一个阶对角矩阵则称称为相似标准形的（矩阵）.由例1说明，如果适当选取可逆矩阵P，就可能使成为对角矩阵然而，并非所有的n阶矩阵都可以对角化.下面将讨论矩阵可对角化的充要条件.1PAP定理4.9n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量:证明必要性12~.(,)nAdiag设其中1,,.4.10)PPAPAPP则存在可逆矩阵使得或（12(,,,)njPP把矩阵按列分块，记，其中是P的第j列121212,,,,,,nnn则（4.10）可以写成A()=()(1,2,).iiiAinPP由此可得因可逆，必不含有零列.120(1,2,).,,,.iiininA即因此，是的属于特征值的特征向量，并且线性无关11..PPAPA两边左乘，得即矩阵与对角矩阵相似121212,,,,,,.,,,nnnAn充分性：设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依此为记矩阵P=().则P可逆.12AP=A,,,n而()1211221212,,,,,,,,,nnnnnAA=(A)=().=()1212..nnnAnA如果阶矩阵有个互不相同得特征值，，则与对角矩阵相似其中的主对角线的元推论依此是，nAAn应注意，由阶矩阵可对角化，并不能断定必含有个互不相同的特征值.12()...miAAmnAni12m在矩阵的特征值中有重根的情形，可设的所有不同特征值为，而是的n重特征值于是nnn(1,2,....),,.4.5.imAnAiiiii如果对应每一个相异特征值特征矩阵(E-A)的秩等于n-n则齐次方程组(E-A)X=0的基础解系一定含有n个线性无关的特征向量由定理，矩阵就有个线性无关的特征向量，这时，矩阵一定可以对角化(1,2,),,iiiiAAnimn反之，如果矩阵相似于对角矩阵，则可以证明：对的重特征值矩阵(E-A)的秩恰为n-总结可得4.10,.iiiinAAnn阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是对于的每一个重特征值特征矩阵(E-A)的秩为n-定理,.iinAii也可以叙述为：阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是对于A的每一个n重特征值齐次线性方程组(E-A)X=0的基础解系中恰含有n个特征值123TT12T312343242024231()8.8.4.101,218AA在上节例中，我们已求得矩阵的特征值二重和＝的属于特征值(-1)的特征向量为＝（-1，2，0）,＝（-1，0，1）.A的属于特征值的特征向量为＝（2，1，2）根据定理，A可对角化.实际上，设-1-12P=(，,)=201012例1.PAP则T51110230011,2,.4.10.3AAA1231在上节例中，我们求得矩阵的特征值但是的属于二重特征值1的线性无关的向量只有＝（1，0，0）由定理，可知不能对角化例00111004Axy设矩阵可相似于一个对角矩阵，试讨论x,y例应满足的条件.201det()1(1)(1)10AEAxy解矩阵的特征多项式123121,1.4.1010.AAAxy所以，的特征值为根据定理，对于二重特征值，矩阵应有两个线性无关的特征向量.故对应齐次线性方程组(E-A)X=0的系数矩阵(E-A)的秩r(E-A)=1.又10-110-1E-A=-x0-y00x+y-101000由此可得：可对角化时，必有