材料力学-课件-弯曲变形

2019/12/241第六章弯曲变形1．明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立。2．掌握计算梁变形的积分法和叠加法。3．了解梁的刚度条件。基本要求2019/12/242§6-1引言一．工程实际中的弯曲变形2019/12/2431．挠曲线：梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elasticcurve），或挠度曲线（deflectioncurve），简称弹性线或挠曲线。二．基本概念FyxOyxO2019/12/2442．挠度与转角梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用w表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope），用表示；横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移。通常不予考虑。wyxO2019/12/245EIM＝1挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：y规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负。逆时针转角为正，顺时针转角为负。挠曲线方程：w=w（x）转角方程：=（x）2019/12/246在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：tanddxwxwdd在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有y2019/12/247力学中的曲率公式数学中的曲率公式EIM123222dd1dd1xwxw§6-2挠曲线的微分方程2019/12/248小挠度情形下弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。1dd2xwEIMxw22dd23222dd1dd1xwxw2019/12/249EIMxw22ddEIMxw22ddEIMdxwd22由于规定挠度向上为正，有——挠曲线微分方程仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。xwOMM2019/12/2410§6-3用积分法求弯曲变形CdxEIMdxdwx)(DCxdxdxEIMxw)()(对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：其中C、D为积分常数。EIxMdxwd)(22——转角方程——挠度方程2019/12/2411AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~0Aw0Aw0AAwARALwwARALARALww－弹簧变形积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或中间绞链连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件2019/12/2412确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角分段写出弯矩方程分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同积分法求解步骤2019/12/2413例6-1已知：悬臂梁受力如图示，F、l、EI均为已知。求：梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和转角xyxFlAB2019/12/2414解：)()(xlFxMlFFxwEICxlFxFwEI22DCxxlFxFEIw2326由边界条件：0,00wwx时，得：CD0xyxFlAB2019/12/2415梁的转角方程和挠曲线方程分别为：)2(2lxEIxF)3(62lxEIxFw最大转角和最大挠度分别为：EIFlB22maxEIFlvwB33maxxyxFlAB2019/12/2416例6-2已知：简支梁受力如图示。F、EI、l、a、b均为已知。试：讨论这一梁的弯曲变形。FabABlCxyx1x22019/12/2417解：11)(xlFbxMAC段：11xlFbwEI12112CxlFbwEI1113116DxCxlFbEIw)()(222axFxlFbxMCB段：)(222axFxlFbwEI2222222)(2CaxFxlFbwEI222323226)(6DxCaxFxlFbEIwFabABlCxyx1x2lFbFRAlFaFRB2019/12/2418由连续和光滑条件：0011wx时，得：得：由边界条件：212121,时，12112CxlFbwEI1113116DxCxlFbEIw2222222)(2CaxFxlFbwEI222323226)(6DxCaxFxlFbEIw2121,DDCC022wlx时，021DD)(62221bllFbCCFabABlCxyx1x22019/12/2419梁的转角方程和挠曲线方程分别为：)3(621221xbllEIFbAC段)(6212211xbllEIFbxwCB段])(3)3[(62222222axblxbllEIFb])()[(632222222axblxxbllEIFbwFabABlCxyx1x2最大转角：)(6bllEIFabA)(6allEIFabB当ab时，B为最大转角。2019/12/2420FabABlCxyx1x2)3(621221xbllEIFbAC段)(6212211xbllEIFbxwCB段])(3)3[(62222222axblxbllEIFb])()[(632222222axblxxbllEIFbw最大挠度：当=0时，w为极值。当ab时，=0的截面在AC段。)(3balEIFabC3220blx322max)(39blEIlFbw2019/12/2421§6-4用叠加法求弯曲变形在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角。叠加方法（superpositionmethod）叠加原理载荷叠加、变形叠加2019/12/2422例6-3已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B2019/12/2423EIqlB2431EIqlwC4842EIqlwC1643EIqlwC384541EIqlB1632EIqlB333EIqlBCiB48113EIqlwwCiC3841142019/12/2424例6-4已知：外伸梁受力如图示，F、l、a、EI均为已知。求：C、D截面的挠度和转角。（D为AB中点）FlaABCD2019/12/2425FlaABCDFBCFFaABCFaABCEIFawC331wC1wC2DwDC1C2DEIFaC221EIFalC32EIlFaawCC3222)32(6alEIFaC)(32alEIFawC2019/12/2426FaABCDwDC2D)(622xlEIlmxwAB段挠曲线和转角方程：)3(622xlEIlmEIFalwD162EIFalD24得：2019/12/2427例6-5已知：F、l、EI均为已知。求：B截面的挠度和转角。FllABC2EIEI2019/12/2428FllABC2EIEIFBCFABCFlFABCABCFl2019/12/2429FllABC2EIEIFBCFABCABCFlwB1B3EIFlwB331EIFlB221wB2wB3B2B1EIFlCB4212EIFllwwCCB1253112EIFlCB2223EIFllwwCCB433223EIFlEIFlBBBB452221wC1wC22019/12/2430例6-6已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC和转角C2019/12/2431EIqlC631EIqlwC841248128234222lEIqlEIqllwwBBCEIqlC4832EIqlCiC4873EIqlwwCiC384414方法一：2019/12/2432)3(62xlEIdxqxdwCEIqldCllC48732EIqldwwllCC3844142方法二：xxqdxACdxBdwCdCEIdxqxdC222019/12/2433例6-7已知：图示组合梁，F=qa，EI为已知。求：截面B的挠度和截面A的转角。FABCaa/2a/2qFBCqa/2BAqA1wBFABCqAEIqaA243122)2(3)2(32233aEIaFEIaFEIaqawBawBAA1EIqawB48114EIqaA232019/12/2434例6-8已知：悬臂梁受力如图，Me=Fa/2。试画出挠曲线的大致形状。设抗弯刚度EI为常数。MeaFaaM－+Fa/2Fa/22019/12/2435例6-9图示刚架结构。试求C点的水平和垂直位移。ACBFa2aFBCACBFFadCV1dCV1dCV2dCH)(331EIFaCVd)(2)2(22EIaFaCVd)(373EIFaCVd)(3)2(3EIaFCHd2019/12/2436例6-10图示等截面刚架，自由端承受集中载荷F的作用，试求自由端的铅垂位移。设弯曲刚度EI与扭转刚度GIt均为已知常数。FABClaFBCAFBFadC1dC2dC3dC1)(331EIFaCd)(2tCGIFalad)(333EIFlCd321CCCCdddd2019/12/2437§6-5简单超静定梁F2019/12/24383．相当系统在静定基上加上外载荷以及多余约束力，得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。2．静定基将静不定梁上的多余约束除去后所得到的“静定基本系统”。1．静不定梁约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁。AFB一．静不定梁的概念2019/12/24393．在静定基上计算多余约束处的变形后，代入变形协调条件，建立补充方程，解出多余约束反力。2．建立变形协调条件；将相当系统与静不定梁相比较，在多余约束处，找到变形协调条件。1．判断梁的静不定次数，解除多余约束，建立静定基；二．静不定梁的解法2019/12/2440例6-11一悬臂梁AB，承受集中载荷F作用，因其刚度不够，用一短梁加固，如图所示。试计算梁AB的最大挠度的减少量。设二梁各截面的弯曲刚度均为EI。Fl/2ABCl/22019/12/2441Fl/2ABCl/2解：加固前，AB梁的最大挠度)(33EIFlwB加固后FABCFCACFCwC1wC2)(48)25(31EIlFFwCC)(3)2(32EIlFwCC由wC1=wC2，得FFC45此时AB梁的最大挠度：)(64134853333EIFlEIlFEIFlwCB仅为前者的60.9%。2019/12/2442][][maxmaxww[w]——许用挠度[]——许用转角梁的刚度条件2019/12/2443例6-12已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP=20kN，a=lm，l=2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角=0.5°。试：根据刚度要求确定该轴的直径d。BEIlaF