湖南人文科技学院2012级概率论与数理统计课程考试卷A(含参考答案)

湖南人文科技学院数学系数学与应用数学、信息与计算科学专业2012级2013---2014学年第二学期概率论与数理统计课程考试试卷A考核方式:（闭卷/半开卷/开卷)考试时量：120分钟题号一二三四五总分合分人复查人实得分一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题干的括号内。多选无分。1．设BA,是任意2个事件，则)(BAP（）．（A）)()(BPAP；（B）()()()PAPBPAB；（C）)()(ABPAP；（D）)()()(ABPBPAP．2．设nxxx,,,21是来自正态总体),(2N（未知）的样本，对均值考虑如下的检验0100::HvsH，则显著性水平为的拒绝域是（A）（记0/XtSn）A．2{;(1)}WtttnＢ．{;(1)}WtttnＣ．1{;(1)}WtttnD．2{;(1)}Wtttn3．设总体X~2(1,)N,12,,,nXXX是取自总体X的一个样本,则为参数2的无偏估计量的是(Ａ)(A)211()1niiXXn;(B)211()niiXXn;(C)211niiXn;(D)2X4．若随机变量X和Y的协方差等于0，则以下结论正确的是（Ｂ）．)(AX和Y相互独立；)(B)()()(YDXDYXD；)(C)()()(YDXDYXD；)(D)()()(YDXDXYD．5设随机变量X与Y均服从正态分布，)5,(~),4,(~22NYNX；记},4{1Xpp}5{2Ypp，则有（Ａ）．)(A对任何实数，都有21pp；)(B对任何实数，都有21pp；)(C只对个别值，才有21pp；)(D对任何实数，都有21pp．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．随机变量X~)4,(N，且5)(2XE，则X的概率密度函数为2(1)81()22xfxe2．设YX,独立且均服从正态分布),0(2N，且41)2,2(YXP，则)2,2(YXP14．3．设，nXXX,,,21为独立同分布的随机变量序列，且),2,1(iXi服从参数为2的指数分布，则n当时，niinXnY121依概率收敛于12．4.设(1521,,,XXX)是来自正态总体9,0N的简单随机样本，则统计量215212211210222121XXXXXXY的概率分布是(10,5)F．（只填Ｆ分布得２分.）5.设总体nXXXNX,,,),,(~212是来自X的一个样本niiXnX11，参数2,都是未知的，则2的矩估计量为22211()nniiiixxxxnn或三、判断题(每小题2分，共12分对的打“√”，错的打“×”)1．设X~(,1)N,则满足22PXPX的参数2（√）2．设随机变量)1,0(~),1,0(~NYNX，则22YX服从2分布；（×）3.设随机变量X与Y相互独立，且),(~1pnBX，),(~2pnBY，则~YX)2,(21pnnB；（×）得分评卷人得分评卷人得分评卷人4.设A,B,C是三个事件,如果有()()()()()()()()()PABPAPBPBCPBPCPACPAPC,则称A,B,C相互独立(×)5.设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A、B两事件相互独立，则必有A与B互斥事件；(×)6.设总体),(~2NX，2未知，X为样本均值，,)(1122niinXXnS,)(11122niiXXnS检验假设00:H时采用的统计量是nXZ/0（×）（以下各题要有详细过程，只写结果不给分）。四、计算题（共44分）1，设一仓库中有12箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、4箱、3箱，三厂产品的废品率依次为0.1，0.15和0.18。从这12箱产品任取一箱，再从这箱中任取一件，1）求取得合格品的概率；2）已知取得一件合格品，求此产品为甲厂生产的概率。（本题7分）解.设B为“取得的产品是合格品”,iA为“产品来自第i个生产厂家”,i=甲、乙、丙由全概率公式2分3i1()()(|)iiPBPAPBA5分543=0.90.85+0.8212121210.3612或2.5936分即先取到一份报名表为女生的概率为2.593.7分2、设随机变量X的概率密度为A+102()0,xxfx，其他，求①A值；②X的分布函数Fx；③1.52.5PX（本题7分）解：(1)201221fxdxAxdxA，12A2分(2)xFxftdt3分000,0101,0221,2xxdttdtxx４分20,01,0241,2xxxxx５分(3)1.52.52.51.50.0625PXFF７分（①,２分，②,３分，③,２分）3、设二维随机变量(,)XY有密度函数：21,01,02;(,)30,xxyxyfxy其他（1）求边缘概率密度,XYfxfy；（2）求概率PXY;（3）判断随机变量X与Y的独立性。（本题8分）解:（1）(,)Xfxfxydy222/3,010,xxx其他(,)Yfyfxydx1/3/6,020,yy其他(3分)(2)PXY(,)xyfxydy120017/243xdxxxydy(６分)(3)由(,)XYfxfyfxy知X与Y不独立（８分)得分评卷人4、设12nX,X,X为总体X的一个样本，X的密度函数1,010,xxfx其他，0.求参数的矩估计量和极大似然估计量。（本题8分）解：1101EXxxdx2分由1XEX知矩估计量为ˆ1XX3分11,010,nniiixxL其它5分1lnln1lnniiLnx6分1ln0lnniiLnx7分故极大似然估计量为1lnniinX8分5、某厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布2,N,40cm/s,2/cms。现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n只，测得燃烧率的样本均值为40.75/xcms。设在新方法下总体均方差仍为2cm/s，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的不同？取显著性水平0.05。（已知分位数0.051.645z，0.0251.96z）（本题7分）解：按题意需检验假设00:40H(1分)10:40H(2分)拒绝域为00.0251.96xuun(4分)而现在40.75401.8751.96225u，(6分)所以我们在显著性水平0.05下接受0H，即认为这批推进器的燃烧率较以往生产的有显著的不同。(7分)6、假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工．若一周5个工作日无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍能获利5万元；发生两次故障所获利润0元；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？（本题7分）解：设发生故障的次数为X，利用为Y则随机变量X的概率分布为5(0)0.8PX，4(1)0.8PX，3(2)0.40.8PX，3(3)11.840.8PX（３分）543()100.850.82(11.840.8)EY（７分）五证明题（14分）1、设{}nX为独立同分布的随机变量序列,共同分布为221PX,1,2,2knkkk证明{}nX服从大数定律。（本题7分）证明：211nkEXk4分由辛钦大数定律知{}nX服从大数定律7分2、,,21XX…6,X是总体),(~2NX的样本，622115iiSXX为样本方差，且412221141,21iiiiXYXY。试求：1223YYZS的分布及参数。（本题7分）证明：∵43,0~221NYY，（3分）5~5222S。（6分）∴5~6556212221tsYYsYYZ。∴5~tZ，其参数为：5n。（7分）得分评卷人