数学建模实验答案_建立数学模型

1实验01建立数学模型（4学时）（第1章建立数学模型）教材中给出原始数据，结合模型，得到结果。但如何求得结果这一过程没有给出，实际上要用MATLAB软件编写程序来求得，这应该交给实验课来完成。考虑到上学期同学们刚学习MATLAB语言，编程能力不强，所以有关的程序给出来供同学们进行验证。要求同学们要读懂程序。1.（求解，编程）如何施救药物中毒p10~11人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型）：d,(0)1100d(,0)d,(0)0dxxxtyxyyt其中，x(t)为t时刻胃肠道中的药量，y(t)为t时刻血液系统中的药量，t=0为服药时刻。1.1（求解）模型求解p10~11要求：①用MATLAB求解微分方程函数dsolve求解该微分方程（符号运算）。②用MATLAB的化简函数simplify化简所得结果。③结果与教材P11上的内容比较。提示：dsolve和simplify的用法可用help查询。建议在命令窗口中操作。★求解的语句及运行结果：[x,y]=dsolve('Dx=-a*x','Dy=a*x-b*y','x(0)=1100','y(0)=0');disp([x,y])[1100*exp(-a*t),exp(-a*t)*exp(-b*t)*((1100*a*exp(a*t))/(a-b)-(1100*a*exp(b*t))/(a-b))]disp(simplify([x,y]));[1100*exp(-a*t),(1100*a*exp(-t*(a+b))*(exp(a*t)-exp(b*t)))/(a-b)]1.2（编程）结果分析p11已知λ=0.1386,μ=0.1155，将上题中得到x(t)和y(t)两条曲线画在同一个图形窗口内。参考图形如下。20510152025020040060080010001200t/hx,y/mgx(t)y(t)参考答案提示：MATLAB命令plot,fplot,holdon/off,gridon/off,xlabel,ylabel,text。★编写的程序和运行结果：程序1：用plotclc;clear;a=0.1386;b=0.1155;t=0:0.01:25;x=1100./exp(a*t);y=-(1100*a*(1./exp(a*t)-1./exp(b*t)))/(a-b);plot(t,x,t,y);gridon;xlabel('{\itt}/h');ylabel('{\itx},{\ity}/mg');text(2,1100/exp(a*2),'{\itx}({\itt})');text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3)-1/exp(b*3)))/(a-b),'{\ity}({\itt})');程序2：用fplot和匿名函数clc;clear;a=0.1386;b=0.1155;fplot(@(t)[1100/exp(a*t),-(1100*a*(1/exp(a*t)-1/exp(b*t)))/(a-b)],[025]);gridon;xlabel('{\itt}/h');ylabel('{\itx},{\ity}/mg');text(2,1100/exp(a*2),'{\itx}({\itt})');text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3)-1/exp(b*3)))/(a-b),'{\ity}({\itt})');32.（编程，验证）商人们怎样安全过河p8~9三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？[模型构成]决策：每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,过程的状态sk=(xk,yk)允许状态集合S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从数uk,vk=0,1,2;k=1,2,决策dk=(uk,vk)允许决策集合D={(u,v)u+v=1,2}状态转移律sk+1=sk+(-1)kdk[多步决策问题]求dkD(k=1,2,,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0)。2.1（编程）求允许决策集合D和允许状态集合SD是2行多列矩阵，每一列是一个决策。S是2行多列矩阵，每一列是一种状态。要求：①编写程序求D和S，并输出。②S的第一列是[3,3]'，最后一列是[0,0]'。★编写的程序和运行结果：程序：clear;clc;%求允许决策集合D（2×n1，n1种决策）D=[];foru=0:2forv=0:2ifu+v==1||u+v==2D=[D,[u;v]];endend4end%求允许状态集合S（2×n2，n2种状态）S=[];forx=3:-1:0fory=3:-1:0ifx==0||x==3||x==yS=[S,[x;y]];endendend%首列状态(商人数,仆从数)'=(3,3)'，末列为(0,0)'D,S运行结果：2.2（验证）求动态允许状态集合SS和状态转移矩阵A上面允许状态集合S没有指明当时船是在此岸还是在彼岸，应该将S中的每一种状态再分为两种状态，需增加一个元素（值为-1或1）放在第三行。定义动态允许状态集合SS={(x,y,z)'x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2;z=-1,1}(x,y,-1)，表示从此岸渡河前此岸的允许状态(x,y)。(x,y,1)，表示从彼岸渡河前此岸的允许状态(x,y)。SS是三行多列矩阵，每一列表示一种状态，列下标为其编号。定义状态转移矩阵A，其中，A(i,j)=1表示D中存在决策使状态i转到j，否则A(i,j)=0。程序如下（输入时，不必把注释也输入）：5程序运行结果（参考）：要求：①将程序接在上题的程序之后（去掉最后多余的输出语句），程序最后给出显示SS和A的语句。②运行程序，输出SS和A。对照参考答案，如数值不一致，请检查程序。6MATLAB函数all的用法见提示。★运行的完整程序和运行结果：程序：clear;clc;%求允许决策集合D（2×n1，n1种决策）D=[];foru=0:2forv=0:2ifu+v==1||u+v==2D=[D,[u;v]];endendend%求允许状态集合S（2×n2，n2种状态）S=[];forx=3:-1:0fory=3:-1:0ifx==0||x==3||x==yS=[S,[x;y]];endendend%首列状态(商人数,仆从数)'=(3,3)'，末列为(0,0)'%动态允许状态集合SS（3×n3，n3种状态）%-1，从此岸渡河前此岸的允许状态%1，从彼岸渡河前此岸的允许状态SS=[[S;-ones(1,size(S,2))],[S;ones(1,size(S,2))]];SSnum=size(SS,2);%状态总数，SS中的列下标对应状态的编号%SS(:,1)=[3,3,-1]'（起点），SS(:,end)=[0,0,1]'（终点）%状态转移矩阵A，A(i,j)=1表示存在决策使状态i转到j，其它为0A=zeros(SSnum);fori=1:SSnumforj=1:SSnumford=D%顺序取D的每一列给ds=[SS(1:2,i)+SS(3,i)*d;-SS(3,i)];ifall(s==SS(:,j))%所有元素不为0时为真A(i,j)=1;break;endendendendSS,A运行结果：72.3（验证）给出一个商人们安全过河的方案程序如下（输入时，不必把注释也输入）：程序运行结果：要求：8①读懂以上程序，掌握all和any函数的应用。②将程序接在之前的程序后（去掉最后多余的输出语句），运行程序。对照答案，如不一致，请检查程序。MATLAB函数any的用法见提示。★给出运行的完整程序和运行结果：程序：clear;clc;%求允许决策集合D（2×n1，n1种决策）D=[];foru=0:2forv=0:2ifu+v==1||u+v==2D=[D,[u;v]];endendend%求允许状态集合S（2×n2，n2种状态）S=[];forx=3:-1:0fory=3:-1:0ifx==0||x==3||x==yS=[S,[x;y]];endendend%首列状态(商人数,仆从数)'=(3,3)'，末列为(0,0)'%动态允许状态集合SS（3×n3，n3种状态）%-1，从此岸渡河前此岸的允许状态%1，从彼岸渡河前此岸的允许状态SS=[[S;-ones(1,size(S,2))],[S;ones(1,size(S,2))]];SSnum=size(SS,2);%状态总数，SS中的列下标对应状态的编号%SS(:,1)=[3,3,-1]'（起点），SS(:,end)=[0,0,1]'（终点）%状态转移矩阵A，A(i,j)=1表示存在决策使状态i转到j，其它为0A=zeros(SSnum);fori=1:SSnumforj=1:SSnumford=D%顺序取D的每一列给ds=[SS(1:2,i)+SS(3,i)*d;-SS(3,i)];ifall(s==SS(:,j))%所有元素不为0时为真A(i,j)=1;break;endendend9end%SK为多行SSnum列的矩阵，第i列对应SS的第i列的状态。%第i行表示第i次渡河前有那些状态，1表示有对应下标列号的状态，0则无。%第i+1行是第i行状态转移过来的状态%当第SSnum状态出现时停止，表示有解。%或者新行的元素全0时停止，表示无解。%新行不允许出现之前出现过的状态。s=[1,zeros(1,SSnum-1)];%从状态[3,3,-1]'开始SK=s;whileany(s)&&s(SSnum)~=1k=find(s);%求最后一行为1的列下标s=any(A(k,:),1);%得到新行，元素值为1或0s=s&~any(SK,1);%去掉新行中之前出现的状态SK=[SK;s];%新行加入，作为SK的末行end%多步决策，直到找到目标。有难度！ifany(s)==0%新行全0disp('无解！');return;end%最后一行的第SSnum状态(j)开始往回找转换到它的状态(i)，直到状态1。%得到一个状态号的顺序sk（行向量），为一个解。sk=zeros(1,size(SK,1));sk(1)=1;sk(1,end)=SSnum;j=SSnum;fork=size(SK,1)-1:-1:2fori=find(SK(k,:))ifA(i,j)==1sk(k)=i;j=i;break;endendenddisp([1:length(sk);SS(1:2,sk)]);%输出结果给出程序的运行结果：3.（求解）商人们怎样安全过河（修改）p9对第2题的问题改动，用类似的方法求解。3.1在第2题中修改商人数和随从数有四名商人各带一个随从，其它同第2题。修改第2题中的程序求解。★修改的程序部分和完整程序的运行结果（安全过河的方案）：%求允许状态集合S（2×n2，n2种状态）S=[];forx=4:-1:010fory=4:-1:0ifx==0||x==4||x==yS=[S,[x;y]];endendend%首列状态(商人数,仆从数)'=(4,4)'，末列为(0,0)'3.2在3.1题中修改船容纳的人数船能容纳3人。修改3.1题中的程序求解。★修改的程序部分和完整程序的运行结果（安全过河的方案）：%求允许决策集合D（2×n1，n1种决策）D=[];foru=0:3forv=0:3ifu+v=1&&u+v=3D=[D,[u;v]];endendend4.（编程