当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 数学必修1-1第二章圆锥曲线与方程
第第三三章章圆圆锥锥曲曲线线与与方方程程§1椭圆1.1椭圆及其标准方程(一)教学目标1.知识与技能目标理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法..2.过程与方法目标能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义,能正确且直观地绘作图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示.3情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线,是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名;(二)教学过程(1)引入提出两个问题:第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.(2)新课讲授过程(i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义.(ii)椭圆标准方程的推导过程提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系.无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理.设参量b的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、,,abc的关系有明显的几何意义.类比:写出焦点在y轴上,中心在原点的椭圆的标准方程222210yxabab.(iii)例题讲解与引申例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0,2,0,并且经过点53,22,求它的标准方程..作业:第27页练习1、2、31.2椭圆的简单几何性质(一)教学目标1.知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;2.过程与方法目标通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观,激励学生创新.(二)教学过程(1)引入①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围;②由方程的性质得到椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念;(2)新课讲授过程(i)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质.通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii)椭圆的简单几何性质①范围:由椭圆的标准方程可得,222210yxba,进一步得:axa,同理可得:byb,即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里;②对称性:由以x代x,以y代y和x代x,且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴,原点为对称中心;③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴;④离心率:椭圆的焦距与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率(10e),椭圆图形越扁时当01a,,b,ce;椭圆越接近于圆时当a,b,ce00.(iii)例题讲解与引申、扩展例:求椭圆221625400xy的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.扩展:已知椭圆22550mxymm的离心率为105e,求m的值.作业:第31页练习:第1、2椭圆中焦点三角形的性质及应用定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。性质一:已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则2tan221bSPFF。cos2)2(2122212212PFPFPFPFFFc)cos1(2)(21221PFPFPFPFcos12)cos1(244)cos1(24)(222222121bcacPFPFPFPF1222121sinsintan21cos2FPFbSPFPFb性质二:已知椭圆方程为),0(12222babyax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF,若21PFF最大,则点P为椭圆短轴的端点。证明:设),(ooyxP,由焦半径公式可知:oexaPF1,oexaPF1在21PFF中,2122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF1))((24124422122ooexaexabPFPFca=122222oxeabaxa022axo性质三:已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则.21cos2e证明:设,,2211rPFrPF则在21PFF中,由余弦定理得:1222242)(2cos212221221221212212221rrcarrcrrrrrrFFrr.2112221)2(222222222122eacarrca命题得证。(2000年高考题)已知椭圆)0(12222babyax的两焦点分别为,,21FF若椭圆上存在一点,P使得,120021PFF求椭圆的离心率e的取值范围。简解:由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos20e即22121e,e的范围是.1,23性质四:已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF,,,1221FPFFPF则椭圆的离心率sinsin)sin(e。,,1221FPFFPF由正弦定理得:sinsin)180sin(1221PFPFFFo由等比定理得:sinsin)sin(2121PFPFFF而)sin(2)sin(21cFF,sinsin2sinsin21aPFPF∴sinsin)sin(ace。例:已知椭圆的焦点是F1(-1,0)、F2(1,0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若点P在第三象限,且∠PF1F2=120°,求tanF1PF2.解:(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|∴2a=4,又2c=2,∴b=3∴椭圆的方程为3422yx=1.(2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2F1=60°-θ椭圆的离心率21e则)60sin(23sin)60sin(120sin)180sin(21oooo,整理得:5sinθ=3(1+cosθ)∴53cos1sin故532tan,tanF1PF2=tanθ=11352531532.作作业业第第3311页页AA组组第第44、、55题题2.4.1抛物线及标准方程【三维目标】1、使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.2、要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.3、培养学生观察,实验,探究与交流的数学活动能力。[教学过程]复习与引入过程如图2-29,把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上,一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A,截取绳子的长等于A到直线l的距离AC,并且把绳子另一端固定在图板上的一点F;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺左右滑动,这样铅笔就描出一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反复演示后,请同学们来归纳抛物线的定义,教师总结.新课讲授过程(i)由上面的探究过程得出抛物线的定义(ii)抛物线标准方程的推导过程引导学生分析出:得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个方程不仅具有较简的形式,而方程中的系数有明确的几何意义:一次项系数是焦点到准线距离的2倍.由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表略):讲清为什么会出现四种不同的情形,四种情形中P>0;并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即:当对称轴为x轴时,方程等号右端为±2px,相应地左端为y2;当对称轴为y轴时,方程等号的右端为±2py,相应地左端为x2.同时注意:当焦点在正半轴上时,取正号;当焦点在负半轴上时,取负号.(iii)例题讲解与引申例1已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线,经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m,求抛物线的标准方程和焦点坐标。课本例题例1-例4练习:第35页2题作业:第37页1、2、3、2.2抛物线的几何性质(两课时)【三维目标】使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质.从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力复习与引入过程1.抛物线的定义是什么?2.抛物线的标准方程是什么?下面我们类比椭圆几何性质,从抛物线的标准方程y2=2px(p>0)出发来研究它的几何性质.《板书》抛物线的几何性质(2)新课讲授过程(i)抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸.(2)抛物线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合,抛物线没有中心.(3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点.(4)抛物线的离心率(5)抛物线的通径:过焦点且垂直于对称轴的弦,其长为2p(6)焦点弦的弦长:x1+x2+p(ii)例题讲解与引申.例题3已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.解法:由焦半径关系,设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则准线方因为抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4.因此,所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3,m)在此抛物线上,故m2=-8(-3).例4过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点,且A(x1,y1)、B(x2,y2)(图2-34).练习:第37页:1、2、3作业:第37页B组2、3题§§33双双曲曲线线3.1双曲线及其标准方程【三维目标】1、理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题;理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;2、培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力3、培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决问题的一般的思想、方法和途径.【教学过程】(1)预习与引入过程多媒体演示画出画双曲线的图形.启发性提问:在这一过程中,你能说出动点满足的几何条件是什么?(2)新课讲授过程(i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义.〖板书〗把平面内与两个定点1F,2F的距离的差的绝对值等于常数(小于12FF)的点的轨迹叫做双曲线.其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦距.即当动点设为M时,双曲线即为点集P122MMFMFa.(ii)双曲线标准方程的推导过程提问:已知椭圆的图形,是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系.无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程.类比椭圆:设参量b的意义
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