数学试题分类汇编推理与证明

私立教育网：Http：//．[2014·北京卷]学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人8．B20．[2014·北京卷]对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(an，bn)，记T1(P)＝a1＋b1，Tk(P)＝bk＋max{Tk－1(P)，a1＋a2＋…＋ak}(2≤k≤n)，其中max{Tk－1(P)，a1＋a2＋…＋ak}表示Tk－1(P)和a1＋a2＋…＋ak两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.15．、[2014·福建卷]若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．15．6[解析]若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝私立教育网：Http：//，d＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.19．、[2014·广东卷]设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．14．[2014·新课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A14．[2014·陕西卷]观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．14．F＋V－E＝2M2直接证明与间接证明4．[2014·山东卷]用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x2＋ax＋b＝0没有实根B.方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根4．AM3数学归纳法21．[2014·安徽卷]设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{an}满足a1＞c1p，an＋1＝p－1pan＋cpa1－pn，证明：an＞an＋1＞c1p.21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x21＋2x，原不等式成立．②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k1＋kx成立．当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx21＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x－1，x≠0时，对一切整数p1，不等式(1＋x)p1＋px均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明anc1p.私立教育网：Http：//①当n＝1时，由题设知a1c1p成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式akc1p成立．由an＋1＝p－1pan＋cpa1－pn易知an0，n∈N*.当n＝k＋1时，ak＋1ak＝p－1p＋cpa－pk＝1＋1pcapk－1.由akc1p0得－1－1p1pcapk－10.由(1)中的结论得ak＋1akp＝1＋1pcapk－1p1＋p·1pcapk－1＝capk.因此apk＋1c，即ak＋1c1p，所以当n＝k＋1时，不等式anc1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式anc1p均成立．再由an＋1an＝1＋1pcapn－1可得an＋1an1，即an＋1an.综上所述，anan＋1c1p，n∈N*.方法二：设f(x)＝p－1px＋cpx1－p，x≥c1p，则xp≥c，所以f′(x)＝p－1p＋cp(1－p)x－p＝p－1p1－cxp0.由此可得，f(x)在[c1p，＋∞)上单调递增，因而，当xc1p时，f(x)f(c1p)＝c1p.①当n＝1时，由a1c1p0，即ap1c可知a2＝p－1pa1＋cpa1－p1＝a11＋1pcap1－1a1，并且a2＝f(a1)c1p，从而可得a1a2c1p，故当n＝1时，不等式anan＋1c1p成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式akak＋1c1p成立，则当n＝k＋1时，f(ak)f(ak＋1)f(c1p)，即有ak＋1ak＋2c1p，所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式anan＋1c1p均成立．私立教育网：Http：//．、[2014·全国卷]函数f(x)＝ln(x＋1)－axx＋a(a1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：2n＋2an≤3n＋2.22．解：(1)易知f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝x[x－（a2－2a）]（x＋1）（x＋a）2.(i)当1a2时，若x∈(－1，a2－2a)，则f′(x)0，所以f(x)在(－1，a2－2a)是增函数；若x∈(a2－2a，0)，则f′(x)0，所以f(x)在(a2－2a，0)是减函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a＝2时，若f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，所以f(x)在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a2时，若x∈(－1，0)，则f′(x)0，所以f(x)在(－1，0)是增函数；若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)0，所以f(x)在(0，a2－2a)是减函数；若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)0，所以f(x)在(a2－2a，＋∞)是增函数．(2)由(1)知，当a＝2时，f(x)在(－1，＋∞)是增函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)f(0)＝0，即ln(x＋1)2xx＋2(x0)．又由(1)知，当a＝3时，f(x)在[0，3)是减函数．当x∈(0，3)时，f(x)f(0)＝0，即ln(x＋1)3xx＋3(0x3)．下面用数学归纳法证明2n＋2an≤3n＋2.(i)当n＝1时，由已知23a1＝1，故结论成立．(ii)假设当n＝k时结论成立，即2k＋2ak≤3k＋2.当n＝k＋1时，ak＋1＝ln(ak＋1)ln2k＋2＋12×2k＋22k＋2＋2＝2k＋3，ak＋1＝ln(ak＋1)≤ln3k＋2＋13×3k＋23k＋2＋3＝3k＋3，即当n＝k＋1时，有2k＋3ak＋1≤3k＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n∈结论都成立．21．[2014·陕西卷]设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．私立教育网：Http：//(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g(x)＝x1＋x(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝x1＋x，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，g3(x)＝x1＋3x，…，可得gn(x)＝x1＋nx.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝x1＋x，结论成立．②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝x1＋kx.那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝gk（x）1＋gk（x）＝x1＋kx1＋x1＋kx＝x1＋（k＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－ax1＋x(x≥0)，则φ′(x)＝11＋x－a（1＋x）2＝x＋1－a（1＋x）2，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立(仅当x＝0时等号成立)．当a1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)φ(0)＝0.即a1时，存在x0，使φ(x)0，故知ln(1＋x)≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋nn＋1，私立教育网：Http：//(1)＋g(2)＋…＋g(n)n－ln(n＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n＋1ln(n＋1)，在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)x1＋x，x0.令x＝1n，n∈N＋，则1n＋1lnn＋1n.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，12ln2，结论成立．②假设当n＝k时结论成立，即12＋13＋…＋1k＋1ln(k＋1)．那么，当n＝k＋1时，12＋13＋…＋1k＋1＋1k＋2ln(k＋1)＋1k＋2ln(k＋1)＋lnk＋2k＋1＝ln(k＋