安徽大学自控--第2章-数学模型-OK

AotomaticControlPrinciple自动控制原理张媛媛[e-mail]第二章控制系统的复数域数学模型第2页第二章控制系统的数学模型•2.1控制系统的时域数学模型•2.2控制系统的复数域数学模型•2.3控制系统的结构图和信号流图•2.4应用MATLAB控制系统仿真•小结第3页第一节导论数学模型有动态模型与静态模型之分。控制系统的动态模型，即微分方程。建立系统数学模型时，必须：(1)全面了解系统的特性，确定研究目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模型简化。(2)根据所应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型，有时还要考虑便于计算机求解。建立系统的数学模型主要有两条途径：1、机理分析法。2、系统辨识法。第4页2-1控制系统的时域数学模型－微分方程一、建立系统微分方程的步骤1、确定系统或元件的输入量和输出量2、依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列出一组微分方程。3、消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微分方程。4、对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出量放左边，输入量放右边，按降幂排列。第5页一、微分方程式的建立（一）弹簧—质量—阻尼器系统图2-1表示一个弹簧—质量—阻尼器系统。当外力f(t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式。f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。列出的步骤如下：（1）运动部件质量用M表示.（2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有：图2-1弹簧—质量—阻尼器系统第6页•（3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有：2122d()()()dyftftftMt式中f1(t)——阻尼器阻力；f2(t)——弹簧力。(2.1)(2.2)1d()()dytftBBvt＝式中B——阻尼系数。设弹簧为线性弹簧，则有：f2(t)=Ky(t)(2.3)式中K——弹性系数。第7页（4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分方程式:式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。式(2.4)还可写成:22d()d()()()ddytytMBKytfttt(2.4)(2.4a)22d()d()1()()ddMytBytytftKtKtKBBTK2MMTK则有(2.4b)222d()d()1()()ddMBytytTTytftttK令第8页TB和TM是图2-1所示系统的时间常数。1/K为该系统的传递系数，它的意义是：静止时系统的输出与输入之比。列写微分方程式时，输出量及其各阶导数项列写在方程式左端，输入项列写在右端。由于一般物理系统均有质量、惯性或储能元件，左端的导数阶次总比右端的高。第9页（二）R-L-C电路图2-2所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值，ur(t)为输入电压，uc(t)为输出电压，输出端开路。要求列出uc(t)与ur(t)的方程关系式。（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：(2.5)d1d()driLRiituttC图2-2R-L-C电路第10页（2）式中i是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：(2.6)1()dcutitC（3）消去式(2.5)、式(2.6)的中间变量i后，便得输入输出微分方程式：22d()d()()()ddcccrututLCRCututtt或(2.8)(2.7）式中T1=L/R，T2=RC为电路的两个时间常数。当t的单位为秒时，它们的单位也为秒。图2-2电路的传递系数为1。式(2.7)或式(2.8)是线性定常系统二阶微分方程式，式中左端导数项最高阶次为2。)()()(2tutudttduTrcc2221)(dttudTTc第11页例2-3列写电枢控制的它励直流电动机的微分方程。ua取为输入量，ωm为输出量。励磁回路电流粘性摩擦系数电动机轴上电磁转矩负载力矩电动机转速电枢反电势电枢电流电枢电阻电枢电感电枢输入电压fmmcmaaaaaifMMEiRLuSM负载mauaLaiaRbEfimmfJ,第12页解：由电机学可知电磁转矩方程感应电势电枢回路电压平衡方程式直流电机的转矩平衡方程式反电动势系数常数，记系数为常数，称电动机转矩emeammffmamammCCECCiKCtiCtiCtM''')()()(aaaaaaEtiRdttdiLtu)()()(电枢直径电枢重量其中转动惯量DGgGDJdttdJtfMMmmmmmcm4)()(2第13页由由以上分析，可得电枢控制的他励直流电机的微分方程组消去中间变量，可得在工程应用中，较小，可忽略不计meaammCEtiCtM)()(aaaaaaEtiRdttdiLtu)()()(dttdJtfMMmmmmcm)()()()()()()()()()(222tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdLJcacaammemmammamamammaaMEi、、maaMEi、、aL)()()()()(tMRtuCtCCfRdttdJRcaammemmamma第14页令得如很小可忽略不计时，则微分方程化简为如以电机转角为输出，因则微分方程为)()()()(21tMKtuKtdttdTcammm)()()(21emmaaemmamemmamamCCfRRKCCfRCKCCfRJRT，maJR、)()(tutCame)(tmdttdtmm)()()()()()(212tMKtuKdttddttdTcammm第15页线性系统的主要特点是具有可叠加性和齐次性（叠加原理）。叠加原理：设线性微分方程如时方程的解为，时方程的解为就有当时，解（可叠加性）当（为常数）时，解（齐次性）叠加原理说明，对于线性系统（1）两个外作用同时加于系统所产生的总响应等于各个外作用单独作用时分别产生的响应之和；（2）外作用的数值增大若干倍时，响应也增加同样的倍数。三、非线性系统（元件）的线性化严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的。如果系统具有严重的非线性，就要采用非线性系统的分析处理方法；系统在一定限制条件下，可通过线性化方法近似地用线性方程来描述。这里介绍一种线性化方法---小偏差法。)()()()(tftctctc)()(1tftf)(1tc)()(2tftf)(2tc)()()(11tftftf)()()(21tctctc)()(1taftf)()(1tactca？帮助三、线性系统的特点第16页小偏差法设连续变化的非线性函数，如图所示。取某平衡状态A为工作点，对应有设函数在点连续可微，则在A点附近用台劳级数展开为当增量很小时，略去其高次幂项，则有令)(xfy。时，有。当yyyxxxxfy0000)(),00yx（)(xfy202200)()(!21)()()()(00xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxx)0xx（)()()()(0000xxdxxdfxfxfyyx0000()()()(())xyyyfxfxxxxKdfxdxyKx0xA)(xfy0xdxdf0yxy则线性化方程可记为第17页附录拉氏变换法及线性微分方程求解高阶微分方程的求解是十分困难的。引入数学工具，拉氏变换，可将微积分运算转化为代数运算，并能将外作用及初始条件一并考虑，是一种较为简便的工程数学方法。时域函数f(t)复频域中的函数F(s)时域微分方程复频域中的代数方程一、拉氏变换定义设函数当时有定义，且积分在的某一域内收敛，则称其为的拉普拉斯变换，记为即LL为实变量）（ttf)(0tdtetftfLsFst0)()]([)(s)(sF)(tf)()(0是复变量jsdtetfst第18页称为的拉氏变换（或象函数）称为的拉氏反变换（或称原函数）拉氏反变换定义为时域函数复频域函数复频域函数时域函数二、几种典型函数的拉氏变换1、单位阶跃函数1(t))(sF)(tf)(tf)(sFdsesFjtfsFLstjj)(21)()]([1LL-10001)(1)(ttttf1f(t)tsesdtedtetsFststst11)(1)(000第19页2、单位斜坡函数3、等加速度函数斜率=1f(t)t)(1000)(ttttttf202000111)(sesdtesestdttesFstststst)(12100021)(22ttttttff(t)t30300202111221)(sesdttesestdtetsFstststst第20页4、指数函数5、正弦函数000)(ttetfataseasdtedteesFtastasstat11)(0)(0)(0f(t)t0a0a000sin)(ttttf第21页220)()(00]11[21)(21)(21sin)(sjsjsjdteejdteeejdtetsFtjstjssttjtjst22][cos)(stLsF余弦函数第22页t=0处有突变的函数，两种拉氏变换的结果不同。例如：单位脉冲函数并且定义即0+型拉氏变换0-型拉氏变换0-型拉氏变换考虑了0时刻的情况，因此以后的拉氏变换不加声明均为0-型变换。000)()(ttttft)(t1)()(dttt001)()(dttt00)(dtetst00000001)()()()(dtetdtetdtetdtetsststst第23页四、拉氏变换的几个基本法则（1）线性性质设（2）微分法则设)()()]([)]([)]()([)()]([)()]([2121212211sbFsaFtfbLtfaLtbftafLbasFtfLsFtfL为常数，则有、，，)()()]([)]([)]()([212111211tbftaftFbLtFaLsbFsaFL)0()0(')0()(])([)0(')0()(])([)0()(])([)()]([)1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfLsFtfL，则有第24页式中为函数及其各阶导数在时的值。当时，则有（3）积分法则设0)0()0(')0()1(nfff)0()0(')0()1(nfff，，，)(tf0t)(])([)(])([)(])([222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfnnn，则有)()]([sFtfL第25页设式中为的各重积分在时的值。如果则有)0(1)0(1)(1]))(([)0(1)0(1)(1]))(([)0(1)(1])([)()]([)()1()2()1(222)1(0nnnnntfsfssFsdttfLfsfssFsdttfLfssFsdttfLsFtfL，则有)0()0()0()()2()1(nfff，，，)(tf0t0)0()0()0()()2()1(nfff)(1]))(([)(1]))(([)(1])([220sFsdttfLsFsdttfLsFsdttfLnnnt