基本不等式及其应用(第一二课时)

基本不等式及其应用（第一、二课时）1基本不等式及其应用（第一课时）知识点：1.主要基本不等式的证明与应用；2.比较法的应用；3.综合法的应用；4.分析法的应用；5.反证法的应用；教学过程：一.主要基本不等式（共6个）及证明：设Rba,，则平方平均数④③②几何平均数①算术平均数倒数平均数调和平均数2211222babaabba1.证明②与③的不等式：右-左=02)(222bababaabba所以结论成立，当且仅当ba时取到等号；方法：作差比较法；2.证明②与④的不等式：ababba22222=左边，即不等式成立，当且仅当ba时取到等号；方法：利用已知条件或者已经证明正确的结论作为条件，推导出要证明的结论，这种证明方法称为综合法；综合法可以概括为“由因导果”；3.证明①与②的不等式：abba112欲证只需证明abbaab2即证明12baab即证明baab2即证明2baab上述不等式恒成立，且以上步步可逆，故原不等式成立。说明：（1）.分析法-----从要求证得结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题。如果能够判定这些条件都成立，那么就可以判基本不等式及其应用（第一、二课时）2定这些结论成立，这种证明问题的方法叫做分析法；分析法可以概括为“执果索因”；（2）.上述证明过程可以用综合法的语言表述如下；证明：abbaabbaabbaabbaabbaab11221222所以原不等式成立，当且仅当ba时取到等号；4.其它证明省略；5.变形形式：（1）2)(222baba即为③与④的变形；)(2222baba即为③与④的变形；abba4)(2即为②与③变形；（2）abba222，abba222，其中Rba,；（3）0,,2|1|aRaaa；（4）0,,,2||abRbaabba；6.推广：2,,,...,,21nNnRaaan，则naaanaaaaaaaaannnnnn2222212121.........1...111当且仅当naaa...21时取到等号；二.应用：例1.设Rcba,,，求证：（1）cabcabcba222；（2）444222222222cbaaccbbaabccabbca；（3）)(2222222cbaaccbba；（4）Rcbaabccba,,3333，其中证明：（1）方法1.作差比较法；方法2.综合法：cabcabcbaacacbccbabba222222222222相加；（2）222222444224422442244222cacbbacbacaaccbcbbaba相加222222222222222222abccacbbcacabacabcbba，相加结论成立，当且仅当cba时取到等号；基本不等式及其应用（第一、二课时）3（3）)(2)(22)(22)(22222222222222cbaaccbbaacacbccbbaba当且仅当cba时取到等号；（4）abcbaabcbaabccba3)(3)(333333])[(3])())[((22cbaabcbacbacba0))((222cabcabcbacba当且仅当cba时取到等号；说明：（4）即为公式的推广和变形：33abccba；例2.设1,,baRba，求证：（1）2122ba；（2）41ab；（3）411ba；（4）8144ba；解：（4）812]2)([2)(2222244bababa，时等号成立当且仅当21ba；方法2.81161241)(2)(222244abbaba（5）8111abba；解.（5）由（2）有41ab时等号成立，当且仅当21822111141baababbaabba（6）225)1()1(22bbaa；基本不等式及其应用（第一、二课时）4解（6）方法1.左=4112222baba225416121214)(222222bababa方法2.左=4)11)((41122222222babababa4)11](2)[(222baabba2254)161)(4121(；方法3.左2252)111(2)11(22bababa；时等号成立当且仅当21ba例3.设1,,,abcRcba求证：cbacba111。证明：baccaabccbcabba212112121121211cbacba111当且仅当cba时取到等号；例4.，，且已知1,,cabcabRcba；求证：3)1(cba证明：（1）要证3cba成立)(33)(23)(2222cabcabcabcabcbacba，即只需证：基本不等式及其应用（第一、二课时）5，而这是成立的从而只需证：cabcabcba222。)(3)2(cbaabcacbbca解（2），中已证得，在3)1(cbaabccbaabcacbbcacabcababcacbbcacbaabc11，即只需证：，，，同理，而222bcacabcbcabacbacabacabbca。三式相加即得1cabcababcacbbca例5.。不能都大于，求证：已知41)1(,)1(,)1()1,0(,,accbbacba证明：，则，，假设41)1(41)1(41)1(accbba641)1()1()1(ccbbaa。，同理而41)1(,41)1(4121)1(2ccbbaaaa，矛盾。三式相乘，得641)1()1()1(ccbbaa所以原命题成立。方法2.假设不成立，则23)1()1()1(21)1(,21)1(,21)1(babababababa21)1()1,0(,bababa同理21)1()1,0(,cbcbcb21)1()1,0(,acacca相加得23)1()1()1(accbba，矛盾。基本不等式及其应用（第一、二课时）6例6.。，求证：，已知yxyxyx00证明：yxyxyxyxyxyx例7..||||||||||||,bababaRba，求证：已知证明：，，只需证欲证22)(|)||(|||||||||babababa，立，故，而上述不等式显然成即||||||||||babaabab.0,,:之中有一为异号或当且仅当baba，，只需证欲证22|)||(|)(||||||babababa，立，故，而上述不等式显然成即||||||||babaabab.0,,:之中有一为同号或当且仅当baba说明：恒成立不等式||||||||||||bababa例8.cacbbacba411，求证：设。证明：42cbbabacbcbcbbabacbbacbcabaca方法小结：（1）作差比较法；（2）作商比较法；（3）综合法；（4）分析法；（5）反证法；作业：1.设Rba,，求证：244)(21baabba；2.已知1,,baRba，求证：9)11)(11(ba；3.设1,,,cbaRcba，求证：8)11)(11)(11(cba；4.设,,,,Rdcba求证：222222)()(bdcadcba；基本不等式及其应用（第一、二课时）75.设,,,Rcba求证：23abccabcba；6.已知Rba,，求证：abbaba)(22；7.。，求证：，已知220,033qpqpqp8.，已知0,0,0abccabcabcba求证：。0,0,0cba9..)()(0,031332122yxyxyx，求证：设10.yxyxyx，求证：已知0。11.|32|9||6||3||zyxzyx，求证：，，已知。参考答案3.答案：左=8222cacbababcbaccbaacb4.答案：平方变形分析法；5.答案：左=3)111)((3bccabacbaabcbacacbacbcba3)111)](()()[(21cabcbacabcba2331113))()((32133bababacbcaba当且仅当cba时取到等号；