锐角三角函数概念

第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数28.1.1三角函数的定义学习目标1．理解正弦、余弦、正切这三个锐角三角函数的概念，能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数．2．经历探索直角三角形边角关系的过程，初步感受数形结合的思想方法.课前预习1.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则tanA的值为（）A.35B.45C.34D.432.已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC为（）A．7sinαB．7cosαC．7tanαD.7cotα3.已知锐角α，且sinα=cos37°，则α等于（）A．37°B．63°C．53°D．45°4.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，则sinB的值等于．5.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC：BC=3：4，那么cosA的值为．答案：1.D2.C3.C4.12135.35课堂精讲知识点1正弦的定义如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比是一个固定值．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA==Aac的对边斜边.注意：(1)正弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值，它没有单位，当角的度数确定时，其比值随之确定，与三角形的边的长短无关，即与三角形的大小无关．(2)sinA是一个完整的符号，不能写成“sin·A”，书写时习惯省略∠A的角的符号“∠”，但当用三个大写字母表示角时(如∠ABC)，其正弦应写成sin∠ABC，不能写成sinABC.sin2A表示(sinA)2，即sinA·sinA，而不能写成sinA2．(3)在直角三角形中，因为Oac，所以由正弦的定义可知OsinA1．【例1】在Rt△ABC中，∠A=90°，求sinC和sinB的值．、解析：利用勾股定理求出BC，再由锐角三角函数值的定义求出sinC和sinB的值．解：在Rt△ABC中，BC=22ABAC=34，∴sinC=53434ABBC；sinB=33434ACBC．变式拓展1.如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是．答案：22知识点2余弦、正切的定义如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA,即cosA=A=bc的邻边斜边；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA=A=Aab的对边的邻边.注意：(1)余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值．(2)余弦、正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．(3)cosA，tanA是整体符号，不能写成cos·A，tan·A.cos2A和tan2A分别表示(cosA)2和(tanA)2，即cosA·cosA和tanA·tanA，而不能写成cosA2和tanA2．(4)当用三个字母表示角时，角的符号“”不能省略，如cos∠ABC，tan∠ABC.(5)因为Obc，所以OcosA1．因为a0，b0，所以tanAO.【例2】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，求∠A,∠B的余弦值和正切值．解析：先用勾股定理求出AC的长，再用余弦和正切的定义求值．解：∠C=90°，AC=222253ABBC=4．cosA=45ACAB，tanA=34BCAC，cosB=35BCAB，tanB=43ACBC.变式拓展2.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cosB=．3.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于．答案：2.453.13知识点3锐角三角函数的定义对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数，同样的，cosA，tanA也是A的函数．即锐角A的正弦、余弦、正切都是么A的锐角三角函数.注意：(1)锐角三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，sinx、cosx、tanx都是以锐角x为自变量的函数，当x确定后，它们的值都是唯一确定的．也就是说，锐角三角函数值随角度的变化而变化．(2)锐角三角函数都不可取负值.【例3】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求∠A的锐角三角函数数值．解析：利用勾股定理列式求出AC，然后根据锐角的三角函数列式即可．解：由勾股定理得，AC=2222135ABBC=12，sinA=513BCAB，cosA=1213ACAB，tanA=512BCAC．变式拓展4.已知，如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，求∠A的锐角三角函数值．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，∴AB2=AC2+BC2=289，∴AB=17，∴sinA=817BCAB，cosA=1517ACAB，tanA=815BCAC.随堂检测1.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）A.cosA=acB.tanA=baC.sinA=acD.cosA=ab2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=2，BC=1，则sin∠ACD=（）A.53B.255C.52D.233.如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=32，则t的值是（）A．1B．1.5C．2D．34.随着锐角α的增大，cosα的值（）A．增大B．减小C．不变D．增大还是减小不确定5.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，如果CD=3，BD=2．那么cos∠A的值是．6.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=35，求sinB的值．