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第三章有限元法应用中的若干问题有限元模型的建立单元划分的基本原则有限元分析过程及位移解的下限性质应力计算结果的性质和处理第一节有限元模型的建立应用有限元法分析实际问题的目的是方便、快捷的得到可靠性的结果，其分析过程的有效性和计算结果的可靠性成为有限元法的两大核心问题。它涉及到合理的有限元模型的建立，恰当的分析方案和计算方法的选择以及对计算结果的正确解释和处理这三个方面。对一个实际问题进行有限元分析的首要步骤是建立合理的有限元模型。其中最主要的是单元类型和形状的选择以及网格的安排和布置。1.1单元类型和形状的选择1、单元的类型一般来说，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体求解域的几何特点和方程的类型以及求解所希望的精度等因素。根据分析对象的物理属性，可选择固体力学单元、流体力学单元、热传导单元等。在固体力学单元类型中，还可根据对象的几何特点，选择二维、三维实体单元，梁、板、壳结构单元等。2、单元的形状从单元的几何形状上区别，可以分为一维、二维和三维单元。一维单元可以是一直线，也可以是一曲线；二维单元可以是三角形单元、矩形单元或四边形单元；三维单元可以是四面体、五面体、长方体或一般的六面体。具有轴对称几何形状和轴对称物理性质的三维域能用二维单元绕对称轴旋转形成的三维环单元进行离散。真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近似(不理想结果).节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果)..2-DSolid3-DSolid3-DShellLineElementsLinearPLANE42SOLID45SOLID185SHELL63SHELL181LINK1,8,10BEAM3，4BEAM188QuadraticPLANE82PLANE2SOLID95SOLID92SOLID186SHELL93BEAM189当选择了某种单元类型时，即确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数单元形函数是一种数学函数，提供一种描述单元内部结果的“形状”，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。形状的选择与结构构形有关。三角形适合于不规则的形状，而四边形则比较适合于规则形状。单元阶次的选择与求解域内应力变化的特点有关，应力梯度大的区域，单元阶次应较高，否则即使网格密度很密也很难达到理想的结果。1.2网格的划分1.网格疏密的合理布置在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布置较密的网格，在应力变化平稳的区域可布置较稀疏的网格。这样可以同时满足精度和效率的要求。一般情况下，为了使结果达到必要的精度，可以采取以下一些措施：1）对于应力变化激烈的区域局部加密网格进行重分析。这可以在原网格中进行，也可以将高应力区截取出来进行网格加密，并将前一次全结构分析的结果作为边界条件施加在局部加密的网格边界上进行重分析。后一种方法称为总体——局部分析方法。2）采用自适应分析方法。即对前一次分析的结果作出误差估计，如果误差超过规定，再由程序自动加密网格，或者提高单元阶次后进行重分析，直至满足精度要求为止。2、疏密网格的过渡在一个实际问题的有限元分析中，不同区域采用疏密不同的网格经常是必要的。以二维问题的不同疏密划分的四边形网格为例，通常有以下三种方案。1）采用形状不规则的单元，此方案的不足是可能单元形状不好而影响局部的精度；2）采用三角形单元过渡，其不足是可能因引入不同形式的单元而带来不便；3）采用多节点约束方法过渡。第二节单元划分原则2.1梁、杆单元划分的原则两个节点之间的杆构成一个单元，节点可按以下原则划分：1）杆件的交点一定要选为节点(梯子）；2）阶梯形杆截面变化处一定取为节点（阶梯轴）；3）支撑点与自由端要选为节点（悬臂梁）；4）集中载荷作用处最好选为节点；5）欲求位移的点要选为节点；6）单元长度最好基本相同。2.2平面单元划分原则1.单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等参数单元。他们的特点是单元的节点数越多，其计算精度越高，三角形单元与等参数单元可适应任意边界。2.划分原则：1）划分单元的个数，视计算机要求的精度和计算机容量而定，单元分得越多，块越小其精度越高，但需要的计算机容量越大，因此，须根据实际情况而定。2）划分单元的大小，可根据部位不同有所不同，在位移或应力变化大的部位取得单元要小；在位移或应力变化小的部位取得单元要大，在边界比较平滑的部位，单元可大。3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响求解精度。5）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节点。6）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。第三节有限元分析过程及位移解的下限性质3.1有限元法分析过程有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析模型，这一过程是有限元的前处理过程。在这一阶段，主要包括构造计算对象的几何模型、划分有限元网格、生成有限元分析的输入数据，这一步是有限元分析的关键。分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选节点力作为未知量；在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是有限元位移法。有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。3.2选择位移函数的一般原则有限元的分析过程都依赖于假定的单元位移函数或位移模式。因此，为了得到满意的解答，必须是假定的位移场尽可能逼近弹性体的真实位移形态。如果假定的单元位移场与弹性体的真实位移场完全一致，有限元解便是精确解。如桁架和刚架的单元位移场与弹性杆件的变形是一样的，因而桁架和刚架的有限元解是精确的。而在连续体弹性力学有限元法中，一般找不到真实位移场，所以只能得到近似解。单元的位移函数一般采用以包含若干待定参数的多项式作为近似函数，称为位移多项式。有限项多项式选取的原则应考虑以下几点：1）待定参数是由节点场变量确定的，因此待定参数的个数应与单元的自由度数相同。2）对于应变由位移的一阶导数确定问题，选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移函数中常数项和坐标的一次项分别反映了单元刚体位移和常应变的特性，但划分的单元趋近于无穷时，单元趋于无穷小，此时单元应变趋于常应变。而当节点位移是由某个刚体位移引起时，弹性体内不应该有应变，这些特性必须在选择的位移多项式中予以体现。同理，对于应变由位移的二阶导数定义的场问题，常数项、一次项和二次项必须完备。3）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完整性阶数高的多项式以提高单元精度（称为单元的完备性）。不同节点、不同形状的单元的表达式不同，后续将介绍。3.3收敛性有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。有限元的收敛条件包括如下四个方面：1）单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。（等效积分的弱形式的体现）2）在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体的位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。4）位移函数在相邻的公共边界上必须协调。对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。完备性要求是收敛的必要条件，四条全部满足，构成收敛的充分必要条件。3.4有限元位移解的下限性质在用有限元位移法求解弹性力学问题时,要应用最小位能原理。根据最小位能原理求得的位移近似解，其值将小于精确解。这种位移近似解称为下限解。位移解的下限性质可以解释为：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束的限制，使单元的刚度较实际连续体加大了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度比实际刚度大，求得的位移近似解总体上（而不是每一点）将小于精确解。第四节应力计算结果的性质和处理应用位移元进行有限元分析时，未知的场函数是位移。利用系统的总位能Пp（表示各单元Пe之和）的变分得到的求解方程是系统的平衡方程。虽然它满足各个节点的平衡条件以及各个单元和整个结构的总体平衡条件，但是从求解方程解得的则是各个节点的位移值。而实际工程问题所需要的往往是应力的分布，特别是最大应力的位置和数值。为此需要利用以下公式由已解得的节点位移算出单元内的应力。ε=Baeσ=Dε=DBaeae为节点位移矩阵应变矩阵B是插值函数N对坐标进行求导后得到的矩阵。求导一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得到的应变ε和应力σ精度较位移u降低了，即利用以上两式得到的ε和σ的解答可能具有较大的误差。应力解的近似性表现在：1）单元内部一般不满足平衡方程；2）单元与单元的交界面上应力一般不连续；3）在力的边界上一般也不满足力的边界条件。这是因为平衡方程式和力的边界条件以及单元交界面上内力的连续条件是泛函Пp的欧拉方程，只有在位移变分完全任意的情况下，欧拉方程才能精确的满足。在有限元方法中，只有当单元尺寸趋于零时，即自由度数趋于无穷大时，才能精确的满足平衡方程和力的边界条件以及单元交界面上力的连续条件。当单元尺寸限制时，即自由度数为有限时，这些方程只能是近似的满足。除非实际应力变化的阶次等于或低于所采用单元的应力阶次，得到的只能是近似的解答。因此，如何从有限元的位移解得到较好的应力解，就成为需要研究和解决的问题。4.1应力近似解的性质我们已知最小位能原理求得的位移解具有下限性质。由于近似解的总位能一般总是大于精确解的总位能，而近似解的应变能一般地总是小于精确解的应变能。因此，得到的位移解总体上偏小。分析得出，应变解或应力解的重要特点是：应变近似解和应力近似解必然在精确解上下振荡，