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函数应用题的几种常见模型函数应用题主要有以下几种常见模型:1、一次函数模型例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.5元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月(30天)里,有20天每天可以卖出400份,其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同,则每天应从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?注:现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示,例如:匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长和拉力的关系等,对一次函数来说,当一次项系数为正时,表现为匀速增长,即为增函数,一次项系数为负时为减函数。2、二次函数模型例2某工厂生产的商品A,若每件定价为80元,则每年可销售80万件,政府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税,为增加国家收入又要有利于生产发展,必须合理确定税率,根据市场调查,若政府对商品A征收附加税率为%p时,每年销售额将减少p10万件。据此,试问:(1)若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元,求p的范围;(2)若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高,求此时p的值。注:在第二问即二次函数求最值问题,一定要注意隐含条件。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。3、指数函数模型例3某城市现有人口总数100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年);(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年增长率应该控制在多少?注:在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。通常可以表示为为为增长率,为基础数,其中xpNpNyx()1()时间的形式。4、分段函数模型例4通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设)(tf表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律()(tf越大,表明学生注意力越大),经过实验分析得知:4020,38072010,240100,10024)(2tttttttf,(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能坚持多少分钟?(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中?(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?注:对于一些较复杂的问题,有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题,需先后或年同时构造、利用几个函数模型,即分段函数模型方可。5、幂函数模型例5在固定电压差(电压差为常数)下,当电流通过圆柱体电线时,其强度I与电线半径r的三次方成正比。(1)写出函数解析式;(2)若电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,求电流通过半径为r毫米的电线时,其电流强度的表达式;(3)已知(2)中的电流通过的电线半径为5毫米,计算该电流的强度。解:(1)3krI(k为常数)。(2)由(1)知:34320k,解得:5k。所以,电流通过半径为r毫米的电线时,其电流强度的表达式为35rI。(3)由(2)中电流强度的表达式,将5r代入得:625553I安。注:本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题,关键是分清各个量的物理意义及相关关系。6、对数函数模型例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数10log52Ov,单位是sm/,其中O表示燕子的耗氧量。(1)计算,当燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?练习一、选择题.1.某工厂10年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如下图所示,下列四种说法,其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快②前五年中产量增长的速度越来越慢③第五年后,这种产品停止生产④第五年后,这种产品的产量保持不变A.②③B.②④C.①③D.①④2.如下图△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大致为3.用长度为24的材料围一个矩形场地,中间且有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为A.3B.4C.6D.124.已知镭经过100年,剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年的剩留量为y,则y与x的函数关系是A.y={0.9576}100xB.y={0.9576}100xC.y=(1009576.0)xD.y=1-(0.0424)100x5.某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了a千米,休息了一段时间,又沿原路返回b千米(ba),再前进c千米,则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是二、填空题.6.某工厂1992年底某种产品年产量为a,若该产品的年平均增长率为x,2000年底该厂这种产品的年产量为y,那么y与x的函数关系式是______________________________.7.周长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(半径为r),若矩形底边长为2x,此框架围成的面积为y,则y与x的函数解析式是_________________________________.8.某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比,且比例系数为a,其余费用与船的航行速度无关,约为每小时b元,若该船以速度v千米/时航行,航行每千米耗去的总费用为y(元),则y与v的函数解析式为________.9.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·(0.5)x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为____________________.10.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税,超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税,超过4000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一本书,共纳税420元,这个人的稿费为__________元.三、解答题.11.一个体户有一种货,如果月初售出可获利100元,再将本利都存入银行,已知银行月息为2.4%,如果月末售出可获利120元,但要付保管费5元,问这种货是月初售出好,还是月末售出好?12.某种商品现在定价每年p元,每月卖出n件,因而现在每月售货总金额np元,设定价上涨x成,卖出数量减少y成,售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z.(2)若y=32x,求使售货总金额有所增加的x值的范围.13.茜种商品定价为每件60元,不加收附加税时每年大约销售80万件,若政府征收附加税,每销售100元要征税P元,因此每年销售量将减少203P万件。(1)将政府每年对该商品征收的总税金y万元表示为P的函数,并指出这个函数的定义域。(2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元,问税率P%应怎样确定?(3)在可收税金不少于128万元的前提下,要让厂家获取最大销售金额,则如何确定P值?14.某工厂有一段旧墙长14m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为126m2的厂房,工程条件是:(1)建1m新墙的费用为a元;(2)修1m旧墙的费用为4a元;(3)拆去1m的旧墙,用可得的建材建1m的新墙的费用为2a元,经讨论有两种方案:①利用旧墙一段xm(0<x<14)为矩形一边;②矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14,问如何利用旧墙建墙费用最省?试比较①②两种方案哪个更好。
本文标题:函数应用题的几种常见模型教案
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