初三数学竞赛专题之图形的初步认识

数学竞赛专项训练参考答案（8）－1一、选择题：1、如图8-1，已知AB＝10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD的长度的最小值是（）A.4B.5C.6D.)15(52、如图8-2，四边形ABCD中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7，则BC＋CD等于（）A.36B.53C.43D.333、如图8-3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为（）A.745B.533C.539D.2154、已知△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，锐角的个数最多为（）A.1B.2C.3D.05、如图8-4，矩形ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）A.4cmcm10B.5cmcm10C.4cmcm32D.5cmcm326、一个三角形的三边长分别为a，a，b，另一个三角形的三边长分别为a，b，b，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，则ba的值等于（）A.213B.215C.223D.2257、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A.0B.1C.3D.58、若函数)0(kkxy与函数xy1的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（）A.1B.2C.kD.k2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则d与2ba的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿60°ABCDABCDP图8-1图8-2ADCBEF图8-3图8-4ABCDADCFC’BE数学竞赛专项训练参考答案（8）－22、如图8-5，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′＝BB′＝AB，则∠BAC的度数为＿＿＿3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长＿＿＿＿＿4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝＿＿＿＿＿＿＿5、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时求①如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？＿＿＿＿＿＿②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是＿＿＿＿＿＿米。6、如图8-8，在△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝＿＿三、解答题1、如图8-9，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜21（AB+AC）2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？3、如图8-10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F。求证：①四边形CEDF是正方形。②CD2＝2AE·BF图8-6ABDCP16米20米ABCD甲乙图8-7图8-8BACPABDC图8-9ACFBDE图8-10·ABB′DC图8-5EA′数学竞赛专项训练参考答案（8）－3参考答案一、选择题1、如图过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G。显然DG＝EF＝21AB＝5，CD≥DG，当P为AB中点时，有CD＝DG＝5，所以CD长度的最小值是5。2、如图延长AB、DC相交于E，在Rt△ADE中，可求得AE＝16，DE＝83，于是BE＝AE－AB＝9，在Rt△BEC中，可求得BC＝33，CE＝63，于是CD＝DE－CE＝23BC＋CD＝53。3、由已知AD+AE+EF+FD＝EF+EB+BC+CF∴AD+AE+FD＝EB+BC+CF＝11)(21CDBCABAD∵EF∥BC，∴EF∥AD，FCDFEBAE设kFCDFEBAE，141161kkCDkkDFkkABkkAE，AD+AE+FD＝3+13131416kkkkkk∴111313kk解得k＝4作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，则GF＝HC＝AD＝3，BH＝BC－CH＝9-3＝6∵54ABAEBHEG，∴52454BHEG∴5393524GFEGEF4、假设α、β、γ三个角都是锐角，即α＜90°，β＜90°，γ＜90°，也就是A+B＜90°，B+C＜90°，C+A＜90°。∵2（A+B+C）＜270°，A＋B＋C＜135°与A＋B＋C＝180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角，假设α、β、γ中有两个锐角，不妨设α、β是锐角，那么有A＋B＜90°，C＋A＜90°，∴A＋(A＋B＋C)180°，即A+180°＜180°，A＜0°这也不可能，所以α、β、γ中至多只有一个锐角，如A＝20°，B＝30°，C＝130°，α＝50°，选A。5、折叠后，DE＝BE，设DE＝x，则AE＝9－x，在Rt△ABC中，AB2＋AE2＝BE2，即222)9(3xx，解得x＝5，连结BD交EF于O，则EO＝FO，BO＝DO∵1033922BD∴DO＝1023在Rt△DOE中，EO＝210)1023(52222DODE∴EF＝10。选B。6、设△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b，如图D是AB上一点，有AD＝b，因ab，故∠A是△ABC的最小角，设∠A＝Q，则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q，从而它与△ABC全等，所以DC＝b，∠ACD＝Q，因有公共底角∠B，ABCDPEFG60°ABCDEADCBEFHGQABCD数学竞赛专项训练参考答案（8）－4所以有等腰△ADC∽等腰△CBD，从而得BCBDABBC，即bbaab，令bax，即得方程012xx，解得215bax。选B。7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不能超过3个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。8、A。设点A的坐标为（yx，），则1xy，故△ABO的面积为2121xy，又因为△ABO与△CBO同底等高，因此△ABC的面积＝2×△ABO的面积＝1。二、填空题1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为M、N，MN＝d，另一组对边是AD和BC，其长度分别为a、b，连结BD，设P是BD的中点，连结MP、PN，则MP＝2a，NP＝2b，显然恒有2bad，当AD∥BC，由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线，此时有2bad，所以d与2ba的大小关系是)2(2dbabad或。2、12°。设∠BAC的度数为x，∵AB＝BB′∴∠B′BD＝2x，∠CBD＝4x∵AB＝AA′∴∠AA′B＝∠ABA′＝∠CBD＝4x∵∠A′AB＝)180(21x∴18044)180(21xxx，于是可解出x＝12°。3、以3，5，7，9，11构成的三数组不难列举出共有10组，它们是（3，5，7）、（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，9，11）、（7，9，11）。由3+5＜9，3+5＜11，3+7＜11可以判定（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7个数组构成三角形三边长。4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H。设AG＝DH＝a，BG＝CH＝b，AE＝BF＝c，DE＝CF＝d，则222222222222DPadcbBPdbCPcaAP＝，　，，于是2222DPBPCPAP，故184532222222BPCPAPDP，DP＝325、①设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设CE⊥AB于点E，那么在△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，EC＝20米。所以AE＝EC6.11332030tan20tanACE（米）。CD＝EB＝AB-AE＝16-11.6＝4.4（米）②设点A的影子落到地面上某一点C，则在△ABC中，∠ACB＝30°，ABDCPMNABDCPEFGHaabbcd16米20米ABCD甲乙E数学竞赛专项训练参考答案（8）－5AB＝16米，所以7.27316cotACBABBC（米）。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。6、提示：由题意∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，设∠PBC＝α，∠ABC＝60°则∠ABP＝60°－α，∴∠BAP＝∠PBC＝α，∴△ABP∽△BPC，PCBPBPAP，BP2＝AP·PC3448PCAPBP三、解答题1、证明：如图延长AD至E，使AD＝DE，连结BE。∵BD＝DC，AD＝DE，∠ADC＝∠EDB∴△ACD≌△EBD∴AC＝BE在△ABE中，AE＜AB＋BE，即2AD＜AB＋AC∴AD＜21（AB＋AC）2、答案提示：在△ABC中，不妨设a≤b≤c∵a+bca+b+c2c即p2cc2p，另一方面c≥a且c≥b2c≥a+b∴3c3pcpcba。因此23pcp3、证明：①∵∠ACB＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴DE⊥AC，DE⊥BC，从而∠ECF＝∠DEC＝∠DFC＝90°。∵CD是角平分线∴DE＝DF，即知四边形CEDF是正方形。②在Rt△AED和Rt△DFB中，∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B∴Rt△AED∽Rt△DFB∴BFDEDFAE，即DE·DF＝AE·BF∵CD＝2DE＝2DF，∴BFAEDFDEDFDECD222224、解：这一问题等价于在1，2，3，……，2004中选k－1个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k＝4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597①共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2……an显然总有ai大于等于①中的第i个数，所以n≤16≤k－1，从而知k的最小值为17。ABDCE数学竞赛专项训练参考答案（1）－6