工程力学64-附录-平面图形的几何性质

授课教师：韩志型土建学院力学教研室附录平面图形的几何性质一、静矩、形心及其相互关系了解二、惯性矩、极惯性矩、惯性积掌握三、平行移轴公式掌握四、主轴与形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩的概念了解附录1平面图形的几何性质本章重点1、静矩、形心及其相互关系2、惯性矩、极惯性矩、惯性积3、平行移轴公式重要概念静矩，形心，惯性矩，极惯性矩，惯性积，形心轴本章难点1、组合图形对形心轴惯性矩的计算2、主轴与形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩的概念研究截面几何性质的意义NFApTIzIMy22()''zdwMxwdxEIpTlGINFllEA选取合理的截面形状和尺寸充分地发挥材料作用安全与经济应力变形几何量横截面面积A极惯性矩IP惯性矩Iz影响承载能力1、静矩的概念AySzddAzSyddddzzAASSyAzydAyz静矩是面积与它到轴的距离之积。平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或mm3。一、静矩、形心及其相互关系图形对于y轴的静矩：ddyyAASSzA图形对于z轴的静矩：2、平面图形的形心定义：形心即是图形几何形状的中心。对于等厚均质的薄板，重心的位置即是形心的位置。形心的位置只与平面图形的几何形状、尺寸有关。(1)图形具有一根对称轴，则形心在此对称轴上；(2)图形有两根对称轴，则形心在两对称轴的交点；(3)三角形平面图形，其形心在三角形的三根中线的交点上，距各边相应高度的1／3处。平面图形的形心坐标dAzyyziiCiiCAzzAAyyACzCyc当微面积△Aｉ→0时，则用积分法求形心坐标：ACACzdAzAydAyAyCzCSzASyAzCyCSAySAz形心与静矩的关系平面图形对z轴（或y轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心到该轴距离yC（或zC）的乘积。（yC，zC）即形心坐标。利用合力矩定理：形心与静矩的关系zCyCSAySAz0000zCyCSySz当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。形心轴：通过平面图形形心的轴称为形心轴。如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。已知静矩可以确定图形的形心坐标已知图形的形心坐标可以确定静矩zyC组合图形由若干个简单图形（矩形、三角形、圆等）组成的平面图形即组合图形。组合图形的静矩组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即nzCCnCniCiinyCCnCniCiiSAyAyAyAySAzAzAzAz1122111221......式中yCi、zCi及Ai分别为各简单图形的形心坐标和面积;n为组成组合图形的简单图形的个数。3、组合图形的静矩和形心组合图形的静矩：nzCCnCniCiinyCCnCniCiiSAyAyAyAySAzAzAzAz1122111221......111111nniCiiCiiiCniinniCiiCiiiCniiAyAyyAAAzAzzAA组合图形形心坐标的计算公式组合图形的形心zCyCSAySAz组合图形的形心yCi、zCi及Ai为各简单图形的形心坐标和面积yC、zC及A为组合图形的形心坐标和面积例1试计算如图所示的平面图形的形心位置。801201010zyC1C2解将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成矩形Ⅰ110mm5mm2Cz1120mm60mm2Cy矩形Ⅱ27010mm45mm2Cz210mm5mm2CyA1=10×120mm2=1200mm2A2=70×10mm2=700mm2求得该平面图形的形心坐标为11iniCiCniiAzzA1200607005mm39.74mm1200700801201010zyC1C2A1=1200mm2A2=700mm2160mmCy15mmCz245mmCz25mmCy1200570045mm19.74mm120070011iniCiCniiAyyAC（19.74，39.74）另解：用负面积法求解。将平面图形看作由大矩形Ⅰ减去矩形Ⅱ组成。矩形Ⅰ:Cz140mmCy160mm矩形Ⅱ:27010mm45mm2CzA1=80×120=9600mm2A2=－70×110mm2=－7700mm2801201010z1y1C1ⅠⅡC2211010mm65mm2Cy求得该平面图形的形心坐标为iniCiCniiAzzA11960040770045mm19.74mm96007700iniCiCniiAyyA11960060770065mm39.74mm96007700二、惯性矩、极惯性矩、惯性积1、惯性矩与极惯性矩惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积（也称为图形对轴的二次矩）。2dzAIyAdAzyyz极惯性矩是面积对点的二次矩。2dPzyAIAII惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯性矩不同。惯性矩的数值恒为正。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也各不相同。常用单位为m4或mm4。2dyAIzAdAzyyz2、惯性积惯性积是面积与其到两正交轴距离之积。dzyAIzyA惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。惯性积可能为正或负，也可能为零。单位为m4或mm4。2、惯性积dzyAIzyA如果坐标轴z或y中有一根是图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。0zyAIzydAdAzzyydAz3、惯性半径222,,zzyyPPIiAIiAIiA,,yzPzyPIIIiiiAAA式中iz、iy、iP分别称为平面图形对z轴、y轴、和极点的惯性半径，也叫回转半径。单位为m或mm。或改写成惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的极惯性矩）也愈大。常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即4、组合图形的惯性矩组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即1212......zzzznziyyyynyiIIIIIIIIII例2矩形截面的尺寸如图所示。试计算矩形截面对其形心轴z、y的惯性矩、惯性半径及惯性积。解(1)计算矩形截面对z轴和y轴的惯性矩取平行于z轴的微面积dA，dA到z轴的距离为y，则dA=bdy截面对z轴的惯性矩为2zAIydA截面对y轴的惯性矩为2yAIzdA322212hhbhybdy322212bbhbzhdzbhzdzdAydydACyz(2)计算矩形截面对z轴、y轴的惯性半径截面对z轴和y轴的惯性半径分别为31212zzIbhhiAbh31212yyIhbbiAbh(3)计算矩形截面对y、z轴的惯性积因为z、y轴为矩形截面的两根对称轴，故0zyAIyzdAbhCyzCyz例3计算圆形截面对其形心轴z、y的惯性矩及惯性半径,对圆心C的极惯性矩。解取平行于z轴的微面积dA，dA到z轴的距离为y截面对z轴的惯性矩为2222dAzdyRydy根据对称性:2zAIydA442222464RRRDyRydyDydydA464zyDIIR惯性半径：424644zzIDDiAD4zyDii截面对C的极惯性矩为4222()232pzAADIdAyzdAI432pDI对于图示的空心圆，可看成是两个同心圆形的组合，则惯性矩为4444(1)646464zyDdDII极惯性矩：dDzDdy44(1)32pDI三、平行移轴公式yczccOba式中：a，b——图形形心在yoz坐标系中的坐标，或形心轴与其平行轴的距离。A——图形面积。Iyc、Izc——图形对形心轴的惯性矩。Iyczc——图形对形心轴的惯性积。22ccyyczzcyzyzIIaAIIbAIIabA图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。例4计算如图所示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。z1b/2b/2h/2h/2zCy12zzIIaA解z、y轴是矩形截面的形心轴，它们分别与z1轴和y1轴平行，则由平行移轴公式得，矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩分别为12yyIIbAy12331223bhhbhbh2331223hbbhbbh用平行移轴公式计算组合图形对其形心轴的惯性矩组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即1212......zzzznizyyyyniyIIIIIIIIII计算组合图形对其形心轴的惯性矩步骤：1.确定组合图形的形心位置（zc,yc)；2.求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩；3.利用平行移轴公式，计算各简单图形对组合图形的形心轴的惯性矩Izci，Iyci；4.将各图形的Izci，Iyci分别进行求和就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。例5试计算图示T形截面对形心轴的惯性矩。解（1）求截面形心坐标(zc,yc)矩形Ⅱ矩形Ⅰ11,/2cABhzHh22,/2cAbHzH整个图形的形心坐标：11122121iniciccCniiAzAzAzzAAAHhBbyOA1A2zy2C2CyczCy1C1(/2)/2=BhHhbHHBhbH取z坐标为对称轴，建立坐标系。故，yc=0（2）计算该T形截面对形心轴zc的惯性矩IzczczczcIII12HhBbCyOA1A2zycy1C1y2C2zCzchBI3112zcHbI3212zchBHbI2331212由：HhBbCyOA1A2zyc（3）用平行移轴公式计算该T形截面对形心轴yc的惯性矩Iyc1/2caHzhy1C12/2cazHy2C212ycycycIIIzCa1a22111132(/2)12ycycIIAaBhBhHzh2222232(/2)12ycycIIAabHbHzH3322(/2)(/2)1212ycccBhbHIBhHzhbHzH四、形心主惯性轴、形心主惯性矩主惯性轴:若平面图形对通过O点的任意两根正交坐标轴z、y的惯性积Iyz＝0，则这对坐标轴称为通过O点的主惯性轴，简称主轴。截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。形心主惯性矩：图形对应任意点（图形内或图形外）都有主轴，而过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩（简称形心主矩）。形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定：1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。2）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴。3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。zyzy1.静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系中的数值有一定的关系。2.Iz、Iy恒为正，Sz、Sy、Iy