当前位置:首页 > 建筑/环境 > 工程监理 > 东北大学理论力学第八章刚体的平面运动
理论力学东北大学理学院力学系张英杰NortheasternUniversity平行移动、定轴转动—刚体的简单运动刚体的平面运动—刚体的复杂运动平面运动平移+转动绕不断运动的轴的转动本章内容:刚体平面运动的分解;平面运动刚体的角速度、角加速度;刚体上各点的速度、加速度。第八章刚体的平面运动或NortheasternUniversity4123刚体平面运动的概述和运动分解求平面图形内各点速度的基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点速度的瞬心法5运动学综合应用举例第八章刚体的平面运动NortheasternUniversity§8-1刚体平面运动的概述和运动分解行星齿轮机构行星轮平面运动:在运动中,刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。NortheasternUniversity§8-1刚体平面运动的概述和运动分解曲柄连杆机构ABO连杆NortheasternUniversity用一个平行于固定平面的平面来截割连杆;连杆截面S:一个平面图形S过平面图形(截面S)上任一点作垂直于图形的直线;直线—作平移连杆—作平面运动§8-1刚体平面运动的概述和运动分解平面图形(截面S)上任一点的运动与过该点所作平面图形垂线上各点的运动完全相同。NortheasternUniversity平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点的运动,因此,刚体的平面运动可简化为平面图形在它自身平面内的运动。§8-1刚体平面运动的概述和运动分解NortheasternUniversity线段与固定坐标轴Ox的夹角平面图形的运动方程xyOO'M平面图形在其平面上位置的确定:平面图形的运动方程由两部分组成:平面图形按O‘点的运动方程进行的平移;§8-1刚体平面运动的概述和运动分解平面图形绕O'点转角为的转动。)(1'tfxO)(2'tfyO)(3tf线段上任一点O'的位置),(''OOyxNortheasternUniversity任意平面运动的分析:在平面图形上任取一点O做为基点;xyoO'x'y'在O点假想地做一个平移参考系Oxy;平面图形运动时,动系坐标轴O'x'轴、O'y'轴始终分别平行于定系坐标轴Ox轴、Oy轴。平面图形的平面运动随着基点的平移绕着基点的转动§8-1刚体平面运动的概述和运动分解NortheasternUniversity以车厢为动参考体按点的合成运动方法来分析车轮的运动:O'x'y'动系:固定在车厢上的O'x'y'§8-1刚体平面运动的概述和运动分解(O与轮心重合)汽车在平直路面上直线行驶平移车轮绕O轴(点)的转动车轮的平面运动(平移+转动)牵连运动:相对运动:绝对运动:NortheasternUniversityO'x'y'§8-1刚体平面运动的概述和运动分解随着O'点的平移绕着O'点的转动以轮心O'为基点,建立平移参考系O'x'y'车轮的平面运动汽车在平直路面上直线行驶按刚体平面运动的分解法来分析车轮的运动:NortheasternUniversityBOA基点:在B上建立平移参考系Bx'y'x'y'B连杆AB的平面运动随基点B的直线平移在动系内绕基点B的转动曲柄OA:定轴转动滑块B:平移连杆AB:平面运动曲柄滑块机构(A、B两点的速度和加速度不同)§8-1刚体平面运动的概述和运动分解基点的速度和加速度与基点的选择有关NortheasternUniversityBAB'A'结论:平面运动可取任意基点而分解为平移和转动,其中平移的速度和加速度与基点的选择有关,而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点选择无关。§8-1刚体平面运动的概述和运动分解研究平面运动时,选择不同的点作为基点时,动参考系的速度和加速度是不相同的,但转角是相同的。ABNortheasternUniversityxyO基点:O'绝对运动:牵连运动:平移坐标系:O'x'y'相对运动:结论:平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随平面图形绕基点转动速度的矢量和。'Ov'Ov'MOvMv随O'点的平移绕O'点的圆周运动x'y'两个运动的合成O'M§8-2求平面图形内各点速度的基点法一、基点法reavvv''MOOMvvvMOvO''NortheasternUniversity平面图形内任意A、B两点间速度关系:AvAvBAvBvAB大小方向垂直于,朝向图形转动的一方AB基点法:用速度合成定理来求平面图形内任一点的运动的方法。§8-2求平面图形内各点速度的基点法BAABvvvABvBANortheasternUniversityBAABvvv基点法求平面图形内各点速度的解题步骤:1、分析题中各物体的运动:平移、转动、平面运动;2、分析已知要素:研究作平面运动的物体,分析点的速度大小和方向;3、选定基点(A点),而另一点(B点)可应用公式,作速度平行四边形(vB为平行四边形的对角线);4、利用几何关系,求解平行四边形中的未知量。§8-2求平面图形内各点速度的基点法NortheasternUniversity例8-1如图所示,椭圆规尺的A端以速度沿x轴的负向运动,AB=l。求B端的速度以及尺AB的角速度。Av§8-2求平面图形内各点速度的基点法解:⑴分析各物体的运动尺AB作平面运动⑵对于平面图形AB,取A点为基点,利用基点法求解滑块A、B作平移BAABvvv大小方向?√√√?√ABxyBvAvBAvAvOcotABvvsinABAvvlvBAABsinlvANortheasternUniversity例8-2图示平面机构中,AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时,BD、AE均处于水平位置,杆AB的角速度为ω=5rad/s。求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。§8-2求平面图形内各点速度的基点法解:⑴分析各物体的运动平面运动绕A点定轴转动大小方向?√√√?√绕E点定轴转动6060BvBvDvDBDBvDEBAEDCABvBm/s5.153.0m/s5.1BDBDvvv⑵对于平面图形BD,取B点为基点,利用基点法求D点速度DBBDvvvBD杆:AB杆:DE杆:NortheasternUniversity§8-2求平面图形内各点速度的基点法大小方向??√√√√6060BvCBvCvBAEDCm/s5.1BDBDvvvBvDvDBvBvDBDEDEvDDErad/s53.05.1DBvDBDBrad/s5BDCBCBvm/s75.0515.022CBBCvvvm/s3.1C点速度水平向右例8-2已知AB=BD=DE=l=300mm,在图示位置,BD、AE均处于水平位置,ωAB=5rad/s。求此瞬时ωDE和杆BD中点C的vC。⑶对于平面图形BD,以B点为基点,利用基点法求C点速度CBBCvvvNortheasternUniversity例8-3图示曲柄连杆机构,OA=r,AB=。如曲柄OA以匀角速度ω转动,求当α=60°,0°和90°时滑块B的速度。r3§8-2求平面图形内各点速度的基点法解:⑴分析各物体的运动平移绕O点定轴转动大小方向?√√√?√平面运动BOAAvAvBvBAvα=60°OAvAr30cosABvv332r⑵对于平面图形AB,取A点为基点,利用基点法求B点速度BAABvvv滑块B:杆OA:杆AB:NortheasternUniversity大小方向?√√√?√BOABvAvAvBAvBAvBvBAv§8-2求平面图形内各点速度的基点法rvArvvAB0BAv0Bv例8-3图示曲柄连杆机构,OA=r,AB=。如曲柄OA以匀角速度ω转动,求当α=60°,0°和90°时滑块B的速度。r3BAABvvvα=90°α=0°NortheasternUniversity例8-4图示行星轮系中,半径为r1的齿轮Ⅰ固定,半径为r2的行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚不滑,杆OA角速度为ω0。求轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B,C两点的速度。§8-2求平面图形内各点速度的基点法解:⑴分析各物体的运动绕O点定轴转动大小方向0√√√?√平面运动ⅠOAD011CⅡBDAvAvAv0OAvA021)(rr021)(rrvvADA⑵取A点为基点,利用基点法求解行星齿轮Ⅱ上D点的速度DAADvvv杆OA:行星齿轮Ⅱ:DAvDA112021)(rrrNortheasternUniversity§8-2求平面图形内各点速度的基点法大小方向??√√√√ⅠOAD011CⅡAvBAvBvBDAvAvAv112rvBA021)(rrABvv2021)(2rr例8-4已知杆OA角速度为ω0,求轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B,C两点的速度。BAABvvv大小方向??√√√√CAACvvvAvCAvCv021112)(rrrvCACAACvvv021)(2rrA点为基点A点为基点202111)(rrrNortheasternUniversity同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。将上式向AB连线方向上投影AvBAvBvAvABABBAABAABBvvv)()()(ABAABBvv)()(§8-2求平面图形内各点速度的基点法二、速度投影定理BAABvvv由NortheasternUniversityOADCBE3060例8-5图示平面机构中,CD=3CB,曲柄OA=100mm,以角速度ω=2rad/s转动;连杆AB带动摇杆CD,并拖动轮E沿水平面纯滚动。图示位置A、B、E三点在一水平线上,且CD⊥ED,求此瞬时点E的速度。§8-2求平面图形内各点速度的基点法解:OAvAABvv30cosAvEvBv利用速度投影定理得sm/2.021.0利用速度投影定理得DvBDBDCDvCBCDvCBvCDvm/s23.0Bvm/s69.0DEvv30cosm/s8.0EvNortheasternUniversity在某一瞬时,平面图形内速度为零的点称为瞬时速度中心,简称速度瞬心。基点:A点AvMAvAvCAvAv一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。NMCA§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法一、定理AvACMAAMvvvAMvvAM0ACvvACNortheasternUniversity平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕速度瞬心转动的速度。基点:速度瞬心C点ACvBCvDCvADBC§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法二、平面图形内各点的速度及其分布ACCAvvvDCCDBCCBvvvvvvACvDCBCvv速度的分布情况MCvvMCM平面图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比;速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线,指向图形转动的一方。NortheasternUniversity⑴平面图形沿一固定表面只滚不滑(纯滚动)⑵己知图形内任意两点的速度的方向(两点的速度不平行)速度瞬心:图形与固定面的接触点C速度瞬心:两点速度垂线的交点CBOAAvBvCvCO§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法三、速度瞬心的确定方法NortheasternUniversityAAvBvBC⑶己知图形上两点速度相互平行,且速度方向垂直于两点连线速度瞬心:连线AB与速度矢端点连线的交点C§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法三、速度瞬心的确定方法AvBvB
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