2013年初中数学奥数决赛试题初三

2013年初中数学奥数决赛试题初三年级一、选择题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的。请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。1．方程20132013xx的解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个2.a是正整数，下列哪个数一定不是正整数的平方？（）A.3a2－3a+3B.4a2+4a+4C.5a2－5a－5D.7a2－7a+73.如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（23ar≥）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）．A.2π3rB.2(33π)3rC.2(33π)rD.2πr4．设0＜k＜1，关于x的一次函数)1(1xkkxy，当1≤x≤2时的最大值是（）A.kB.kk12C.k1D.kk15．设a，b是正整数，满足a＋b＞ab，给出以下四个结论：①a，b都不等于1；②a，b都不等于2；③a，b都大于1；④a，b至少有一个等于1．其中正确的结论是（）A.①②B.②③C.③D.④二、填空题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分)1.将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作(见下图).按上边规则，完成2013次操作以后，再剪去所得小正方形的左下角.问:当展开这张正方形纸片后，一共有个小孔.第（3）题2．已知：a≤2，那么7－3a的取值范围是3.方程)3)(2(1)2)(1(1101xxxxx＋…＋)10)(9(1xx＝52的解是.4.一次函数yaxb的图象经过点3,32A，1,3B，2,Cc则222abcabbcca的值为.5.设实数a，b满足不等式)(baa＜baa，则ab的符号为．三、解答题（共5个小题，满分40分）1.（6分）已知，(x2+y2)2=x2+y2+12,求x2+y2的值。2.（7分）已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，O是AC和BD的交点，OE∥AB交BC于有E求证：OECDAB1113.（8分）已知y=222(26)(1)4(1)xxx，求y的最大值．4.（9分）已知：△ABC中，D，E分别在BC，AC上，∠B＝∠1＝∠2，如果△ABC，△ADC，△EBD的周长依次为x,y,z。求证：45xzy5．（10分）若x为整数，在使x2＋x＋4为完全平方数的所有x的值中，设其最大值为a，最小值为b，次小值为c．（1）求a、b、c的值；（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以2，同时求其差再除以2，加上剩下的一个数，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，得到2012，2013，2014？证明你的结论．A21BCDEABCDOE2013年初中数学奥数决赛试题初三年级参考答案一、选择题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分。)1.D分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2013看成一个整体，问题即转化为求方程aa的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。2.B分析：（A）3a2－3a+3＝3[a(a－1)+1]只要a(a－1)+1＝3，即连续数a(a－1)＝2这是可能的，a=2时（A）的值是32用同样方法可求得（C），(D)的值可以是52，72故选（B）当然也可直接推出（B）一定不是正整数的平方，∵在4[a(a+1)+1]中，连续整数的积a(a+1)≠3（连续正整数的积的个位数只能是0，2，6）3.C．解:如图，当圆形纸片运动到与A的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心1O作两边的垂线，垂足分别为D，E，连1AO，则Rt△1ADO中，130OAD，1ODr，3ADr．∴1211322ADOSODADr．有11223ADOADOESSr四形形．∵由题意，1120DOE，得12π3ODESr扇形，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π33)3rr（2(33π)r．4．答案：A解：，∵0＜k＜1，∴＜0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为kkkk11．kxkky1)1(kkkkk)1)(1(1AED1O5．答案：D解：由a＋b＞ab，得（a－1）（b－1）1.因为a，b是正整数，所以（a－1）（b－1）＝0，故a和b中至少有一个为1．二、填空题(本大题共5个小题，每小题6分，满分30分)1.42012解：通过操作可以知道：按规则完成一次操作，展开后的正方形纸片上共有40=1个小孔；按规则完成两次，展开后的正方形共有41=4个小孔；按规则3次操作，展开后的正方形纸片上共有42=16个小孔；第4次后为：43个小孔；根据这个规律，容易得到原题展开正方形纸片后，第2013次有：42012个小孔，2.7－3a≥1解：①∵a≤2，∴两边乘以－3，得－3a≥－6两边加上7，得7－3a≥7－6∴7－3a≥13.32.解：∵1(x+1)(x+2)＝1x+1－1x+2，1(x+2)(x+3)＝1x+2－1x+3,…，1(x+9)(x+10)＝1x+9－1x+10∴原方程可化为：1x+10＋1x+1－1x+2＋1x+2－1x+3＋…＋1x+9－1x+10＝52即：1x+1＝52，解得：x＝32，4.13-63解：可求得31,231,1abc3,232,23abbcca.原式=22211363.2abbcca5.ab0解：∵不等式两边都是非负数，∴两边平方不等号方向不变两边平方得，a2－2a(a+b)+(a+b)2a2－2a(a+b)+(a+b)2化简，得a（a+b）aba，可知a≠0，a+b≠0两边除以a得，a+babaa显然不等式要成立，只有1aa，故a0由此得a+b－ba，显然只有a+b0，又∵a0，故b0∴a，b的符号是：a0，b0∴ab0三、解答题（共5个小题，满分40分）1.解：(x2+y2)2－(x2+y2)－12＝0…………………1分(x2+y2－4)(x2+y2+3)＝0…………………3分∴x2+y2－4=0或x2+y2+3=0…………………4分∴x2+y2=4或x2+y2=-3,但x2+y2≥0,不合题意舍去…………………5分∴x2+y2=4…………………6分2.证明:OECDAB1111CDOEABOE………2分ABOE=BCCE，CDOE=BCBE………4分BCCE+BCBE=CEBEBC=BCBC=1……5分∴1CDOEABOE…………………6分∴OECDAB111…………………7分3.分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解：222(26)(1)4(1)xxx=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜…………………1分有三个分界点：-3，1，-1．…………………2分(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，ABCDOE由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．…………………4分(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．…………………5分(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．…………………6分(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．…………………7分综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．…………………8分4.证明：设BC＝a，AC＝b，AB＝c…………………1分∵∠1＝∠2，∴DE∥AC，∴△ABC∽△EBD∽△DAC…………………2分∴BCACACDC＝，即DC＝ab2…………………4分BD＝BC－DC＝a－ab2=aba22…………………6分∴222abaBCBDxz，abxy…………………8分∴22221abababaabxzy－221ab＋45≤45…………………9分5.解：（1）设x2＋x＋4=k2（k为非负整数），则有x2＋x＋4－k2=0，…………1分由x为整数知其△为完全平方数，即1－4（4－k2）=p2（p为非负整数），…………………3分（2k＋p）（2k－p）=15，A21BCDE显然：2k＋p2k－p,所以21521kpkp或2523kpkp，解得p=7或p=1，…………………4分所以12px，得：x1=3，x2=－4，x3=0，x4=－1，…………………5分所以a=3，b=－4，c=－1．…………………6分（2）因为222222()()22ababcabc，…………………9分即操作前后，这三个数的平方和不变，而32＋（－4）2＋（－1）2≠20122＋20132＋20142．所以，对a、b、c进行若干次操作后，不能得到2012，2013，2014这三个数．…………………10分