2011-2012第二学期概率论本科(A)题目及答案

1华中科技大学文华学院2011~2012第二学期《概率论与数理统计》考试试卷（A）课程性质：必修使用范围：理工类、经管类本科考试时间：2011年12月2日考试方式：闭卷（120分钟）0学部班级姓名学号成绩0题号一二三、1三、2三、3三、4三、5总分得分一、选择题（每小题3分，共18分）1．设随机事件BA,互不相容，且0,0PAPB，则下列结论中一定成立的是(C))(ABA,为对立事件.)(BBA,互不相容.)(CBA,不独立.)(DBA,相互独立.2．设BA,为随机事件，且01,0,PAPBPBAPBA，则必有(D)()APABPAB()BPABPAB()CPABPAPB()DPABPAPB3．设随机变量2~(,)XN，则概率()PX随着的增大（C）()A单调增大()B单调减小()C保持不变()D增减不变4．设二维随机变量,XY的分布律为YX01013131310则E（XY）=（B）()A91()B0()C91()D3125．总体2~(,)XN，1234,,,XXXX为取自总体X的简单随机样本，其中未知，则以下关于的四个估计：)(41ˆ43211xxxx，3212515151ˆxxx，2136261ˆxx，1471ˆx中，哪一个是无偏估计？（A）()A1ˆ()B2ˆ()C3ˆ()D4ˆ6.设1234,,,XXXX为取自正态分布总体2(0,3)N的样本，2221234~(3)CXXXXt，则C（C）()A1()B2()C3()D2二、填空题（每题3分，共30分）1.设A与B是两个随机事件,已知3.0)(,2.0)(BPAP和().04PAB,则()PAB__0.1___.2．如果每次试验的成功率都是p，并且已知三次独立重复试验中至少成功一次的概率为19/27，则p=1/33.设随机变量X的分布函数为0,()0.4,1,xaFxaxbxb，其中ba0，则22baXaP=0.4．4.设随机变量),2(~pBX，~(4,)YBp，若(1)PX=95，则(1)PY=65/815．设随机变量)1(~PX，则2()PXEX12e．6.设随机变量~(0,2),XR则21YX的概率密度函数()Yfy1,(0,2)20,x其他7．设随机变量X与Y相互独立，且~1,2,XN~0,1,YN则23~ZXY5,9N.8．设X1，X2，Y均为随机变量，已知Cov(X1,Y)=1，Cov(X2,Y)=3,则Cov(X1+2X2,Y)=5.9．设126,,,XXX是来自正态总体0,1N的样本，则统计量222123222456XXXXXX～3,3F.(写出分3布类型及参数)10．设总体)(~PX（0），12,,,nXXX为总体的一个样本，其样本均值2x，则参数的矩估计值ˆ=2.三、计算题（共52分）1．（10分）某人下午5：00下班，他所积累的资料表明：到家时间5：35~5：395：40~5：445：45~5：495：50~5：54迟于5：54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘公交到家的概率0.300.350.200.100.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交，结果他是5：47到家的，问他是乘什么交通工具回家的可能性大？解：设B表示“他是5：47到家”，A1表示“乘地铁到家”，A2表示“乘公交到家”；因此人是抛硬币决定乘地铁还是公交，故P(A1)＝P(A2)＝0.5；由题设中的表格可知：1(|)0.45PBA，2020P(B|A).故由贝叶斯公式可知，所求事件的概率为：111(|)()0.50.459(|)()0.50.450.50.2013PBAPAPABPB222(|)()0.50.204(|)()0.50.450.50.2013PBAPAPABPB所以他乘地铁到家的可能性大。2．（10分）（10分）（理工类）已知随机变量X的分布函数为：31,2()0,2axFxxx，求：（1）常数a；(2)(1)(1)PXEXDX解：（1）(2)(2)108FxF，a-==-=则=8;a(2)424,2()()0,2xfx=Fxxx;44224(1)111312;EXEXxfxdxxdxx222422412;EXxfxdxxdxx22112-9=3;DXDXEXEX(1)(1)PXEXDX=5422411723=15;125PXPXdxx（经管类）已知随机变量X的分布函数为：30,0(),021,2xFxaxxx求：（1）常数a；(2)2(())3PXEX;(3)2(51)EX解：（1）(-2)=(2)=8=1FxFa，则1=;8a(2)23,02()()80,xxfx=Fx其他;22022223()1;33338EXEXxfxdxxxdx2(())3PXEX=(1)PX=(11)PX=12031;88xdx(3)22222203(51)51515111;8EXEXxfxdxxxdx3．（10分）设二维随机向量,XY的联合分布列为:试求：（1）a的值；（2）X与Y是否独立？为什么？（3）23EXY解：（1）由归一性可得：0.91,0.1aa（2）至少存在01010.10.40.4ppp故X与Y不是相互独立的XY012120.10.30.2a0.10.25（3）00.410.320.30.9EX，10.420.61.6EY23233EXYEXEY4．（12分）（理工类）设二维随机变量,XY在区域:01,Dxyx内服从均匀分布，求：（1）关于X的边缘密度函数；（2）12XZ的方差)(ZD解：（经管类）设二维随机变量,XY的概率密度为(),02,04(,)0xyxyfxy其他求：(1)的值;（2）X与Y是否独立？为什么？(3)(4)PXY(1)116;（2）X与Y不独立(3)5(4)12PXY5．（10分）设总体X的概率密度函数为1,01()0,.xxfx其它，其中1为未知参数，而nXXX,,,21是总体X的简单随机样本,求参数的极大似然估计量.解：011.)0nniiinxxLxx11(1),;(,...,;,构造似然函数：其它6niixnL1ln)1ln(ln.2取对数：,0ln1ln.31niixndLd建立似然方程：11,lnXniin