13年天津市大学数学竞赛试题(理工类)

2013年天津市大学生数学竞赛试题（理工类）一．填空题（本小题15分，每小题3分）；1.已知2120lim(122)2，axxxxx则其中的常数a=.2.设函数()yx在区间0,上有连续的二阶导数，(0)b，a0且()x在x=a处取得极大值()0a，则积分0()axxdx.3.22ln210lnyxdxedy.4.设抛物线22yxx上一点P的横坐标为c（c2），点Q（c，0）.如图，直线xc和0y与弧OP围城的图形为1S，三角形OPQ记为2S，1S和2S绕x轴旋转一周所成旋转体的体积分别为1V和2V.当c=时，1V=2V.5.设()fx连续且(0)=0f，空间区域222=｛（x,y,z）|0z2,x｝,yt222()[()].Ftzfxydxdydz则20()limtFtt.二．选择题（本小题15分，每小题3分）1.设()(2)(1sin1),fxxx则(A)(0)0.f(B)(0)1.f(C)(0)2.f(D)()fx在点x=0处不可导.【】2.设()fx，()gx都是区间,ab上恒大于零的可导函数，且()()()()0,,.fxgxfxgxxab''则当axb时，必有(A)()()()().fxgbfbgx(B)()()()().fxgafagx(C)()()()().fxgxfaga(D)()()()().fxgxfbgb【】3.设220()[1cossin],xFxttdt则4()Fxx(A)(B)12(C)0(D)2【】4.以下积分0I的是(A)1212(1cos).Ixxdx(B)1212(1sin).Ixxdx(C)12121ln.1xIxdxx(D)122121ln.1xIxdxx【】5.如图，半径不相等的两个木质球体，分别在中间钻出一个以球体直径为轴的圆柱形洞，使得剩下的两个环状立体A和B的高都等于h.通过计算，正确的结论是【】(A)A的体积等于B的体积；(B)A的体积小于B的体积；(C)A的体积大于B的体积；(D)不能判断，A与B体积的大小与球半径有关【】三．设0a，1a。求极限20()lim.xxxaxax四．求不定积分222arcsin1(01).1xdxxxx五．设()yyx是由方程201xyteedtyx确定的隐函数.（1）证明()yx是单调增加的；（2）求lim()xyx'.六．设曲线的参数方程为,xt21,yt31.zt(1)在曲线上哪些点处的切线与平面30xz平行，并写出对应的切向量.(2)求(1)中两条切线之间的距离.(注意两个切线之间的距离指它们的公垂线段的长度.)。七．设0,()afx是区间0,a上具有二阶导数的非负函数，且AhhRrxyOB(0)0.f()0(0)fxxa˝,证明a002()()0.3aaxfxdxfxdx八．求正数a的取值范围，使得曲线与直线y=x必定相交xya。九．设曲面是由直线段L:2222,,(0,1)2222xtytztt绕z轴旋转而得.（1）试推导的直角坐标方程；（2）如果是与平面0,1zz所围成的立体，其密度为22(,,),1zxyzxy求的质量。十．设有曲线nC：221nnxy（n为正整数），nL为nC的长，证明lim8.nnL十一.计算曲线积分21[()][()],ABxyfxydxxfxydyyy其中函数f（x）有连续导数，AB是由点2(3,)3A到点(1,2)B的有向线段。十二.设流速场222(,,),vxyzzixjyk求流体沿空间闭曲线的环流量=,vdr其中是由两个球面2221xyz与222(1)(1)(1)1xyz的交线，从z轴的正向看去，为逆时针方向。