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第1页共8页一.(本题满分30分,每空3分)请把答案填在空中.1、2n级排列(2n)(2n1)...(1)12...nn的逆序数是(31)2nn,2、4阶行列式D的第二行元素依次为2,x,1,0。它们的余子式分别是-2,2,-2,y。第三行元素的代数余子式分别是1,1,1,1。则D=0。3、若一个(1)nn级行列式D中元素或为1或为1,则D的值必为(d)。(a)、1(b)、1(c)、奇数(d)、偶数4、行列式111123149的所有元素代数余子式之和是2。5、若向量组1,2,3的秩为2,则1+2,2+3,3+1的秩为2。6、已知向量12,可由向量组1231,2,3,0,2,5,1,0,2线性表示,则向量组1212,,,的秩为2。7、一个齐次线性方程组中共有n个方程、m个未知量,其系数矩阵的秩为r,若它有非零解,则它的基础解系所含解向量的个数为m-r。8、若向量组123(1,0,1),(2,2,3),(1,2,)t线性相关,则t___2____。9、以下命题正确的是(2,4)。(1)、等价向量组含相同个数的向量;(2)、若一个非齐次线性方程组有无穷多组解,则它的导出组有非零解;第2页共8页(3)、若矩阵A的所有1r级的子式全为零,则A的秩为r;(4)、初等行变换不改变矩阵的列秩。10、设向量组123,,线性无关,则下向量组中线性无关的是iii,iv,1223311223123(),,;(),,2iii;122331123123123()2,23,;(),,.iiiiv二.(10分)计算n阶行列式211...11321...11332...11333...21333...32nDMMMMM。解把第一行元素写成两组数的和211...11111...11100...00321...11321...11321...11332...11332...11332...11333...21333...21333...21333...32333...32333...32nDMMMMMMMMMMMMMMM11(1)nnD把第一列元素写成两组数的和第3页共8页211...11311...11111...11321...11321...11021...11332...11332...11032...11333...21333...21033...21333...32333...32033...32nDMMMMMMMMMMMMMMM13nD两式相加有11,1(3(1))22,nnnDn偶奇三、(6分)计算n阶行列式11121212221211...111...1.........11...1nnnnnnnxyxyxyxyxyxyDxyxyxy。解11121212221211121211...111...1.........11...11,1()(),20,2nnnnnnnxyxyxyxyxyxyDxyxyxyxynxxyynn四.(6分)就a,b的取值,讨论下矩阵的秩:第4页共8页112302164132711161Aab。解对A作初等行变换:112301123021641012213271016211161024411230012210080000002Aaabbab(1)当a=-8且b=-2时,r(A)=2;(2)当a=-8且b-2时,r(A)=3;(3)当a-8且b=-2时,r(A)=3;(4)当a-8且b-2时,r(A)=4。五.(8分)求向量组12341,2,1,3,1,1,1,1,1,3,3,5,3,5,1,7,的一个极大线性无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示。解将向量组排成列构成矩阵A,对A作初等行变换:第5页共8页111311132135011111310222315702221022011100000000A所以12,是一个极大线性无关组,且3124122,2.六、(10分)当a为何值时,线性方程组12312321231axxxxaxxaxxaxa无解,有惟一解,有无穷多解?并在有无穷多解的情况下,写出它的所有解(用导出组基础解系表示)。解将原方程组的增广矩阵化为阶梯型:2222322211111110111101111101100(2)(1)(1)(1)aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa当2,a原方程组无解;第6页共8页当2,a且1,a原方程组有唯一解;当1,a原方程组有无穷多解;此时方程组等价于1231xxx它的一个特解是10,0导出组的基础解系为111,0,01一般解是1212111010,,001kkkk任取。七.(15分)已知123(1,0,1,0),(2,2,,2),(3,1,1,1),(4,1,6,)ab。(1)当a,b为何值时,不能由向量组123,,线性表示;(2)当a,b为何值时,可由向量组123,,线性表示,且表法唯一;(3)当a,b为何值时,可由向量组123,,线性表示,但表法不唯一;此时,写出由向量组123,,线性表示的一般表达式。解将向量组123,,排成列构成方程组系数矩阵A,作为该方程组常数项列。对增广矩阵A作初等行变换:第7页共8页1234123402110211116022202100011234021102000001Aaabbab(1)当1,b不能由向量组123,,线性表示;(2)当b=-12a时,可由向量组123,,线性表示,且表法唯一;(3)当a=-2,b=-1时,可由向量组123,,线性表示,但表法不唯一;此时,由向量组123,,线性表示的一般表达式为123(47)(21)kkk其中k任取。八.证明题(15分):(1)(5分)已知向量可由向量组12,,...,r线性表示,但不能由121,,...,r线性表示。证明:r不能由121,,...,r线性表示,但可由121,,...,,r线性表示。(2)(10分)设是非齐次线性方程组Ax=b的解,12,,...,t是其导出组Ax=0的基础解系。证明:(i)12,,,...,t是Ax=b的线性无关的解;(ii)方程组Ax=b的任一个解都可表为12,,,...,t的线性组合。第8页共8页证(1)如果r可由121,,...,r线性表示,则由可由向量组12,,...,r线性表示,知可由121,,...,r线性表示,矛盾。因此r不能由121,,...,r线性表示。由可由向量组12,,...,r线性表示,可设1122...rrkkk而不能由121,,...,r线性表示,知0rk,于是1122111(...)rrrrkkkk从而r可由121,,...,,r线性表示。(2)(i)易知12,,,...,t是Ax=b的解,且与向量组12,,,...,t等价。而12,,...,t线性无关,不能由12,,...,t线性表出,故12,,,...,t线性无关,从而12,,,...,t也线性无关。(ii)任取方程组Ax=b的一个解,则1122...ttkkk于是121122(1...)()()...()tttkkkkkk即可表为12,,,...,t的线性组合。
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