1993年全国初中数学联赛试卷

1993年全国初中数学联赛试题1．多项式x12－x6＋1除以x2－1的余式是（）A．1B．－1C．x－1D．x＋12．对于命题：Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形．Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形．以下四个结论中正确的是（）A．Ⅰ、Ⅱ都对B．Ⅰ对、Ⅱ错C．Ⅰ错、Ⅱ对D．Ⅰ、Ⅱ都错3．设x是实数，y＝|x－1|＋|x＋1|，下列四个结论：Ⅰ.y没有最小值．Ⅱ.只有一个x使y取到最小值．Ⅲ.有有限多个(不止一个)x使y取到最小值．Ⅳ.有无究多个x使y取到最小值．其中正确的是（）A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ4．实数x1，x2，x3，x4，x5满足方程组12312342345345145125xxxaxxxaxxxaxxxaxxxa其中a1,a2,a3,a4,a5是常数,且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则x1，x2，x3，x4，x5的大小顺序是（）A．x1＞x2＞x3＞x4＞x5B．x4＞x2＞x1＞x3＞x5C．x3＞x1＞x4＞x2＞x5D．x5＞x3＞x1＞x4＞x25．不等式x－1＜(x－1)2＜3x＋7的整数解的个数（）A．等于4B．小于4C．大于5D．等于56．在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cos(∠OBC＋∠OCB)的值是（）A.-22B.22C.32D.-127．锐角三角形ABC的三边是a，b，c，它的外心到三边的距离分别为m，n，p，那么m∶n∶p等于（）A.1a：1b：1cB．a∶b∶cC．cosA∶cosB∶cosCD．sinA∶sinB∶sinC8．133334213999可以化简为（）A.333(21)B.333(21)C.321D.321二、填空题1.当x变化时,分式22365112xxxx的最小值是_________.2．放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有______个小球．3．若方程(x2－1)(x2－4)＝k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k=______．4．锐角三角形ABC中，∠A＝30°，以BC边为直径作圆，与AB、AC分别交于D、E，边结DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形DBCE，设它们的面积分别为S1、S2，则S1∶S2=______．三、解答题一、设H是等腰三角形ABC的垂心在底边BC保持不变的情况下，让项点A至底边BC的距离变小，这时乘积S△ABC·S△HBC的值变小，变大，还是不变？证明你的结论．二、在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13．在边AB，AC分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．三、已知方程x2＋bx＋c＝0及x2＋cx＋b＝0分别各有两个整数根x1，x2和x1＇，x2＇，且x1x2＞0，x1＇x2＇＞0．(1)求x1＜0，x2＜0，x1＇＜0，x2＇＜0；(2)求证:b－1≤c≤b＋1；(3)求b、c所有可能的值．一九九三年全国初中数学联赛参考答案一、选择题1．A2．B3．D4．C5．A6．A7．C8．D二、填空题一、解一不妨设角A是锐角，边结AH并延长交BC于D点，延长BH，CH，分别交AC，AB于E，F，∵∠BHD＝∠AHE，∴∠HBD＝∠HAE．因此，Rt△BDH∽Rt△ADC，于是，S△ABC·S△HBC＝当∠A≥90°时，同理可证上式也成立．由于BC是不变的，所以当A点至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变．解二作图如解一，再延长AD至G，使DG＝DH，并分别连结BG、GC，由△HBD≌△GBD知，∠CBG＝∠CBH＝∠CAG，因而，A，B，G，C四点共圆．因此，S△ABC·S△HBC由于BC是不变的，所以当点A至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变．二、解由52＋122=132知△ABC是直角三角形．由余弦定理知：DE2＝x2＋y2－2xycosA＝(x－y)2＋2xy(1－y)2＋2xy(1－cosA)达到最小值．三、(1)假如x1＞0，则由x1x2＞0知x2＞0．对于已知两个方程用韦达定理得x1＋x2＝－b＝－x1＇x2＇，这与已知x1x2＞0，x1＇x2＇＞0矛盾．因此x1＜0，x2＜0．同理，x1＇＜0，x2＇＜2．(2)由韦达定理及x1＜0，x2＜0，有c－(b－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝(x1＋1)(x2＋1)≥0，所以c≥b－1．对于方程x2＋cx＋b＝0进行同样讨论，得b≥c－1．综合以上结果有b－1≤c≤b＋1．(3)根据(2)的结果可分下列情况讨论：①当c＝b＋1时，由韦达定理有x1x2＝－x1－x2＋1，从而由此算出b＝5，c＝6．经检验b＝5，c＝6符合题意．②当c＝b时，有x1x2＝－(x1＋x2)，从而(x1＋1)(x2＋1)＝1．因此x1＝x2＝－2．故b＝c＝4．经检验b＝c＝4符合题意．③当c＝b－1时,b＝c＋1对方程x2＋cx＋b