有限元分析第4章 平面问题有限单元法1

李建宇天津科技大学有限元分析FiniteElementAnalysis内容Chp.4平面问题的有限元法14.1连续体的离散化4.2常应变三角形单元4.3形函数的性质4.4刚度矩阵要求理解：连续体有限元分片插值的含义有限元分析中的几个常用概念，包括：形函数，应变矩阵，应力矩阵，刚度矩阵等掌握：常应变三角形单元分析流程课后作业推导常应变三角形单元各矩阵有限元分析——4－1,2,3,4回顾刚架有限元分析的基本流程整体离散梁单元分析单元组装整体解算刚架结构QK结构整体刚度方程PP1432123456eijTjmjqjTimiqiO’单元内力eij△jfj△ifiy’x’O’ij单元变形单元刚度方程'''eeepK材料力学离散化方法节点：i，j单元编号ePP1432123456单元(element):节点(node):1,2,3,44123456eij其中：e=1,2,3,4,5,6;i,j=1,2,3,4回顾天然划分出各梁单元梁单元分析由材料力学得：单元节点力与单元节点位移之间的关系局部坐标系单元受力eijTjmjqjTimiqiO’局部坐标系单元变形eij△jfj△ifiy’x’O’ijeeepK回顾总体刚度矩阵的组装PP1432123456组装原理：位移协调条件节点平衡条件位移协调条件：各单元共享节点的位移相等节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系KQ回顾最终数学模型：基本概念回顾单元（element）节点(node)单元节点位移(nodedisplacement)单元节点内力(nodeforce)单元刚度矩阵(elementstiffnessmatrix)整体刚度矩阵组装原理总体刚度矩阵，载荷向量，刚度方程新问题：连续体的有限元分析如何离散化？如何单元分析？如何组装单元？一、连续体的离散化人工节点逼近性离散节点位置，单元形状、大小都会影响对原始结构的逼近描述平面问题:三角形、矩形、任意四边形…空间问题:四面体、正方体、任意六面体…单元分析的理论基础：二、平面问题三角形单元分析建立三角形单元节点力与单元节点位移之间的关系单元分析的目的：弹性力学基本理论vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxoFymFxmFyjFyiFxii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFxjyxo单元节点位移单元等效节点力(基本变量，基本方程，边界条件)～？二、平面问题三角形单元分析平面问题弹性力学基本理论回顾：基本变量几何方程平衡方程D物理方程平面应力问题平面应力问题单元变形分析（位移）问题：平面三角形问题中仍包含无穷多内部连续点，如何用节点位移表征内部连续位移？二、平面问题三角形单元分析解决思路：插值，即用节点位移插值近似其它点的位移。vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo如何插值？22123456...uaaxayaxaxyay22123456...vbbxbybxbxyby多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。二、平面问题三角形单元分析单元变形分析（位移）vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo22123456...uaaxayaxaxyay22123456...vbbxbybxbxyby插值系数的确定：待定系数法123123123iiijjjmmmuaaxayuaaxayuaaxay123123123iiijjjmmmvbbxbyvbbxbyvbbxby6个方程6个系数二、平面问题三角形单元分析矩阵表达和运算123123123iiijjjmmmuaaxayuaaxayuaaxay321111aaayxyxyxuuummjjiimjiT111mmjjiiyxyxyx令mjiuuuaaa1321T*1[T][T]TT2AA为三角形单元的面积[T]*为[T]的伴随矩阵：T*Tijjiijjimiimmiimjmmjjmmjxxyyyxyxxxyyyxyxxxyyyxyx二、平面问题三角形单元分析矩阵表达和运算（续）令mjimjimjimmmjjjiiicccbbbaaacbacbacbaT*]T[mjimjimjimjiuuucccbbbaaaAaaa21321同理，由123123123iiijjjmmmvbbxbyvbbxbyvbbxby12312ijmiijmjijmmbaaavbbbbvAbcccv1,[()()()]2iiiijjjjmmmmuxyabxcyuabxcyuabxcyuA1,[()()()]2iiiijjjjmmmmvxyabxcyvabxcyvabxcyvA回代，得二、平面问题三角形单元分析三角形单元形函数1,[()()()]2iiiijjjjmmmmuxyabxcyuabxcyuabxcyuA1,[()()()]2iiiijjjjmmmmvxyabxcyvabxcyvabxcyvA1,()2iiiiNxyabxcyA令1,()2jjjjNxyabxcyA1,()2mmmmNxyabxcyA000000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuv得ufv单元内各点位移：iiiejjjmmmuvuvuv单元节点位移：eNf形函数例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵[N]。0ijmmjaxyxyijmbyya0ijmcxx0jmiimaxyxy0jmibyyjmicxxa2mijjiaxyxyamijbyyamijcxxaijm由三角形的面积22aA211()(00)2iiiixNabxcyaxAaa211()(00)2jjjjyNabxcyayAaa2211()()12mmmmxyNabxcyaaxayAaaa0010[]0001xyxyaaaaNxyxyaaaa二、平面问题三角形单元分析单元变形分析（应变）位移应变eNf00xuvyyx代入00010002iiijmjijmjiijjmmmmuvbbbucccvAcbcbcbuveB}]{[}{记为[B]矩阵称为应变矩阵。ijmBBBB0102iiiiibBcAcb常数二、平面问题三角形单元分析单元应力分析应变应力eBD代入eDB{}[]{}eS记为[S]矩阵称为应力矩阵。SDB[D]为弹性矩阵单元平衡分析二、平面问题三角形单元分析FymFxmFyjFyiFxii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFxjyxo问题：假设隔离出的各单元，仅在节点上有内力的作用（若单元边界上和体内有力的作用，可事先等效到节点上，如何等效？），则单元节点内力与变形产生的应力构成平衡力系。单元满足平衡条件平衡方程用虚功方程代替。单元平衡分析二、平面问题三角形单元分析平面问题虚功原理dddeeepxxyyxyxyxyxySbubvpupvSeuNveB}]{[}{{}[]{}eS代入得ddddeeeeTxxyyxyxyTeTeTeTeBDBBDB内力虚功＝二、平面问题三角形单元分析单元平衡分析dd,,,,,eepxyxySiiTjeeeeeeeexiyixjyjxjyjjmmbubvpupvSuvuFFFFFFFvuv外力虚功＝载荷等效公式二、平面问题三角形单元分析单元平衡分析外力虚功＝内力虚功deTTeTeeeBDBFd0eTTeeeBDBFdeeTKBDB令[K]e单元刚度矩阵0TeeeeKF单元刚度方程连续体三角形单元分析小结单元位移：节点位移插值单元刚度方程：由虚功方程建立离散化：单元分析：单元节点人工单元、节点单元应变：由几何方程建立单元应力：由物理方程建立euNveB}]{[}{{}[]{}eS0TeeeeKF下次课内容：单元组装和单元等效节点外载课后作业如图（a）所示一高深悬臂梁，在右端部受集中力F作用，材料弹性模量E、泊松比v＝1/3，悬臂梁的厚度（板厚）为t，如图（b）所示有限元模型，试按平面应力问题计算两个单元的位移形函数，应变矩阵，应力矩阵和刚度矩阵。再见