微积分

微积分补充微分的定义定义.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydy(微分的实质)由定义知:;)1(的线性函数是自变量的改变量xdy;)()2(高阶无穷小是比xxodyy;,0)3(是等价无穷小与时当ydyAdyyxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(,)5(线性主部很小时当dyyx,00xxx变到设边长由0x0xxx,20xA正方形面积20xA2020)(xxxA.)(220xxx)1(xx0xx0:)1(;,的主要部分且为的线性函数Ax)2(2)(x:)2(.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx再例如,.,03yxxxy求函数的改变量时为处的改变量在点设函数3030)(xxxy.)()(3332020xxxxx)1()2(,很小时当x),()2(xox的高阶无穷小是.320xxy既容易计算又是较好的近似值可微的条件定理).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数证(1)必要性,)(0可微在点xxf),(xoxAy,)(xxoAxyxxoAxyxx)(limlim00则.A).(,)(00xfAxxf且可导在点即函数(2)充分性,)(0可导在点函数xxf),(lim00xfxyx,)(0xfxy即),()(0xxxfy从而),0(0x),()(0xoxxf.)(,)(00Axfxxf且可微在点函数).(.0xfA可微可导.)(),(,,)(xxfdyxdfdyxxfy即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数.,,xdxdxxx即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量.)(dxxfdy).(xfdxdy..微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分dxdy当△x趋近于0时，微分的几何意义几何意义:(如图)xyo)(xfy0xMT）xx0PNxydy)(xo.,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当dyy.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当微分的求法dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud例.),12sin(dyxy求设解.12,sinxuuyududycos)12()12cos(xdxdxx2)12cos(.)12cos(2dxx例.,sindybxeyax求设解)(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxaxdxaebxbdxbxeaxax)(sincos.)sincos(dxbxabxbeax小结★微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题导数的概念函数的增量问题微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.★导数与微分的联系:.可微可导不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念上的原函数。在区间或就称为，那么函数或，都有上，对：如果在区间定义IdxxfxfxFdxxfxdFxfxFIxI))(()()()()()()('1xxcos)'(sin)0(1)'(lnxxx的原函数。是xxcossin内的原函数。在区间是),0(1lnxx、原函数1则、不定积分2任意常数积分号被积函数CxFdxxf)()(被积表达式积分变量。不定积分，记作的称为的全体原函数数，则的一个原函是上，设函数在区间定义dxxfxfCxFxfxfxFI)()()()()()(2例1求.dxx5解,656xx.665Cxdxx.Cxdxxarctan112dxx2112求例211)'(arctanxx解例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。解设曲线方程为)(xfy根据题意知,2xdxdy,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy的一个原函数是即xxf2)(注:1)求导数与求不定积分是互逆运算CxFxdFdxxfdxxfdCxFdxxFxfdxxf)()(;)(])([)()(;)(])([或2)同一函数的不定积分的结果形式会不同221211;11CarcctgxdxxCarctgxdxx实例xx11.11Cxdxx由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。)1(二、基本积分表基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;||ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13()10(;lnaaCaax且例求积分。dxxx2解dxxx2dxx25Cx125125Cx2772Cxdxx1)2(1根据基本积分公式公式来求不定积分。积分的形式，再用幂函数的只需将其化为时分式或根式表示的，这注：有些被积函数是用xbaaFbFdxxf)()()(babaaFbFxFdxxf)()()()(这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为。)(xf],[ba)(xF)(xf],[ba定积分若函数在上连续，，则在上可积，且且存在原函数例1:.sinbaxdx计算解:xxsin)cos('且，bax连续在因],[sinbabaxxdxcossin所以.coscosba例2求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112||lnx.2ln2ln1ln例3计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积xyo0sinxdxA0cosx.2