第五章 平面波函数

第五章平面波函数5.1平板介质波导5.1.1标量波函数标量波函数是矢量波函数的基础，矢量波动方程的直角分量满足标量波动方程。在介绍平板介质波导之前，先简单介绍标量波函数。在直角坐标系中，波动方程为：（5.1.1）用分离变量法解上述方程。令代入式（5.1.1）得到：（5.1.2）上式中的各项相互独立，分解为：（5.1.3）其中为分离常数，它们满足：（5.1.4）式（5.1.3）中的三个公式形式相同，称为调和方程式，它们的解称为调和函数，用,,表示，它们是线性的。（5.15）上式为基本波函数。基本波函数加权求和或求积分后，仍是波动方程的解。对于有界问题，等取离散值，有（5.1.6）对于有界问题，等取连续值，有（5.1.7）()xhkx()yhkx()zhkxφ=(x)(x)(x)xyzhkhkhkφ=(,)h(x)h(x)h(x)xyxyxyzkkBkkkkk,xykk,xykkφ=f(,)h(x)h(x)h(x)ddxyxyxyzxykkkkkkkkk我们详细地讨论一下平面波函数的波动特性：对于：当为正实数时，代表沿＋x方向的无衰减行波；当为实部大于零的复数时，代表沿＋x方向的衰减行波。对于：当为正实数时，代表沿＋x方向的无衰减行波；当为实部大于零的复数时，代表沿＋x方向的衰减行波。当为纯虚数时，上述两波变为凋落场（急速衰减）。x-jkxh(k)=exjkxh(k)=exkxkxkxkxk对于：当为实数时代表纯驻波；当为复数时代表局部驻波。分别称为沿x,y,z方向的波数,用一个矢量表示为(5.1.8)于是基本波函数（5.1.9）xkxxxh(k)=coskx,sinkxxk-y-x-zφ=yxzjkjkjkeeexk=exkyeykz+ezk,,xyzkkk可写成（5.1.10）电磁场矢量满足矢量波动方程，其直角分量满足标量波动方程，可以由矢量平面波对波数的迭加得到。这一思路不仅适用于平面波函数，也适用于其它坐标系中的波函数；不仅适用于各向同性媒质，而且适用于各向异性媒质。5.1.2平板介质波导对于各向同性介质的平板介质波导，如下图所示：图5.1.1平板介质波导波导结构以z轴对称,其中表示介质的厚度,.上半平面在x=/2处,下半平面在x=-/2处。和分别为自由空间及介质的介电常数和磁导率。a,dd00ε,μ若把问题放在二维里考虑，且设在y方向波函数无变化，即：＝0。波沿z方向传播，用表示波沿z方向的变化。•对于TM波，我们取Ａ＝ｕｘφｍ，得到场的分量表达式如下：（5.1011）（具体可参考横磁波与横电波的推导公式）yz-jkze其中：。特别地，＝0，我们有，（5.1.12）这里只给出TM模的求解过程，TE模的求解与之类似。另外由于平板介质波导关于x轴对称，那么得到的TM模的解是关于x轴的奇函数或偶函数。令代表x的奇函数，代表x的偶函数，则ym22zmm-E=ωε1E=(k-)jωεH=-zxzykxkxe在介质内的TM模的解形式为（5.1.13）在空气中的TM模的解形式为（5.1.14）这里A、B、u、v为常数，这时波在介质中是无衰减传播的。u和v不为实数时的情况将在第三节讲述。选择和，使公式更简洁些。从上面的公式可以得到分离参数方程为-jzod=Asinux,2zkaex-jz--z=B,2=-B,-2zzkovxajkovxaaeexaeex0kjvdku（5.1.15）把上面的分离参数方程代入公式（5.1.12）就得到方程2222ddd2222000u+=k=ωεμ-v+k=ωεμzzkk2-zsin2H=-AucosuxzzjkzzdjkyAEuuxeajxe--jzyH=Bv2zvxkaeex-2-z0-BE=vjωε2zjkzvxaeex-2z0BE=v-jωε2zjkzvxaeex根据和在处需满足的条件，也就是电场和磁场在边界处连续，即在边界处电场和磁场分别相等。由此得到下面的方程：把上面的两个方程左右两边分别相除得到：（5.1.16）zEyH2xa22-va/2d0Aua-Busin=vε2εe-va/2uaAucos=-Bv2ed0εuauavatan=22ε2这个公式和前面的色散关系式（5.1.15）是决定TM模的截止频率和的特征方程。同样对于x的偶函数的TM模，我们选择（5.1.17）它的分量参数公式依然是公式（5.1.15）。而它的场量也由公式（5.1.12）给出。根据和在处的连续性条件，我们得到：（5.1.18）该公式就是决定偶TM模的截止频率和的特征方程。zk-ed-v-ea=Acosux2=B2zzjkzxjkzaexaeexzEyHd0εuauava-cot=22ε22xazk平板介质波导的截止频率和截止波长与金属波导有一些不同，当频率高于截止频率时，介质波导传输波是无衰减的，这时是实数。低于截止频率时，就产生衰减，这时=。波在传输时有衰减，就必须计算能量的减少。由于介质波导是无损耗传输波的，那么衰减就只能是波在传输过程中向周围辐射引起的。也就是说介质波导可以用作天线（要求传输波的频率低于截止频率）。无衰减模的必须界于介质的相位常数和空气的常数之间，即：（5.1.23）本节讨论的特征方程解是v为实数时的情况。zkzkjzkdk0kzkdk0k根据前面的讨论，当，无衰减介质波导传输波的频率趋于截止频率，这时v0。我们设v＝0及，解特征方程可以得到：（5.1.24）以上结果对于TM和TE模都适用。它们需满足的条件是:（5.1.25）zk0k22d0u=k-k22d022d0atan(k-k)=02acot(k-k)=0222d0k-k=,=0,1,2....22ann同时，我们还可以得到截止波长：（5.1.26）与截止频率：（5.1.27）根据不同的n值，可以得到不同的和模。dd00εμ2=-1,0,1,2,....εμcanndd00=,0,1,2...2εμ-εμcnfna我们可以采用一种简单的作图方法，来实现在高于截止频率的任何频率点，求与之对应的。比如，对于TE模，由它的色散方程（5.1.15）可以得到（5.1.28）利用这个关系式，重新改写TE模的特征方程，得到：（5.1.29）按照上述方程作出下图：zk22222d0dd00u+v=k-k=ω(με-με)0d22dd000dμtanμ22()(με-με)()μ22tμ22uauaauauauaco图5.1.2平板介质波导的图形解由两类曲线的交点利用公式：（5.1.30）就可以确定的值。从图中可以看出，波数的值越大，圆的半径也就越大，那么两类曲线的交点也就越多，得到的结论就是导行波的模式也就越多，也就是高于截止频率的模越多。2222ddd2222000u+=k=ωεμ-v+k=ωεμzzkkzkdk5.2导体涂层平板波导在导体表面覆盖一层介质，我们称之为导体涂层平板波导。如下图所示：图5.2.1表面介质波导导体涂层平板波导的导体表面覆盖一层介质。它所传输的模是:E切线方向在矩形的边界x=0平面等于0的平面波。它们可以是平板波导的模（n=0,2,4……）和模（n=1,3,5……）。覆盖有介质的导体的TM模的特征方程是：（5.2.1）用t代替上式中a/2,t是介质的覆盖厚度。相应地，TE模的特征方程是：nTMnTEd0εuauavatan=22ε2也需用t代替上式中a/2。覆盖有介质的导体的表面波导，用t替代中的a/2，就得到其截止频率为：（5.2.4）dd00=4εμ-εμcnftdd00=4εμ-εμcnft在上面的公式中，对于模n取0,2,4….。而对于模，n取1,3,5…..，传输的主模是TM0模，对于覆盖有介质的导体平板波导，它能在所有的频率下无衰减的传输。下面我们仔细的看一看，该主模是如何从无介质覆盖的金属边界向远处衰落的。在空气中，场是随因子衰减的。对于厚的介质覆盖层，有，再与方程联立，得到：nTMnTEvxezdkk2222ddd2222000u+=k=ωεμ-v+=k=ωεμzzkkdd000εμvk-1,()εμt（5.2.6）对于大多数介质来说，这种衰减是很大的。若覆盖的介质场薄的话，衰减的就很慢。这时，有：（5.2.7）通常情况下，若表面覆盖的是厚介质层，称之为紧束缚边界；若表面覆盖的是薄介质层，称之为松束缚边界。0zkkd000dμεv2πk(-),(0)μεtt5.3复模与泄漏模5.3.1复模在介绍泄漏模之前，通过分析以下各种类型的模以及它们的数学表达，来了解复模的概念。假设为自由空间的向z方向传播的模。设，以便在二维里分析模的传播。假设介质或其他类型的波导位于x＝0以下，x＝0以上一直到正无穷大是自由空间。场满足标量场方程：(,)uxz=0y这个标量场方程的解为：（5.3.2）把方程（5.3.2），带入方程（5.3.1）中，得到：（5.3.3）z-jp-jk(,)=xzxzeu22222(+k)u(,)=0xzxz222zp+k=k在通常情况下，p和是复数，可以设为以下形式：（5.3.4）把上式带入方程（5.3.3），得到以下的关系：（5.3.5）把方程（5.3.2）重新整理可以得到：（5.3.6）zkp=-=-rtzrpjkj22222--=k=0rtrrtrpp对于这个表达式，它的等相位面由下列式子给出：（5.3.7）它的等振幅面由下列式子给出：（5.3.8）根据式子（5.3.5），我们可得到下面的结论：等相位面和等振幅面是实相互正交的。用方程表示为：（5.3.9）下面我们用图来表示上面的结论：图5.3.1复波现在我们研究波的传输特点,根据我们知道，表示波向x轴的正方向传播，表示波向z轴的正方向传播；表示波向－x方向传播，表示波向－z方向传播。这两个参数正负值的不同组合，代表了波向不同方向传播。另外两个参数和是波的衰减因子（我们以前所接触到的一般是，），当＝0，＝0时，波无衰减地传播；0rp0r0rp0rtα00tt但是，当时，表示波在沿着x方向传播时，能量不是衰减，而是指数递增的；同理，当时表示波在沿z方向传播时，能量是指数递增的。这种波我们称之为“非正规模”；而传输过程中能量衰减的波我们称之为“正规模”。“非正规模”在通常情况下，是不存在的，但在特殊的区域是可以存在的。0t05.3.2泄漏模对于泄漏模，又可以称为泄漏波。它的参数:，，，（5.3.10）根据前面的分析，我们知道泄漏模是向＋x方向和＋z方向传播的。或者说它的传播方向可以分解为＋x和＋z两个方向。由于，波在向＋z方向传播时是衰减的；，波在向＋x方向传播时，能量是以指数的形式递增的。我们用下图来表示泄漏波的传输过程，它的能量就像从一个表面泄漏出来一样，所以被称为泄漏模。0r0rp00ta00ta图5.3.2泄漏波泄漏模是“非正规模”，它只能存在于一部分空间内。典型的例子就是，沿着波导传输的波，在波导狭缝处向外辐射，能量通过狭缝辐射出去。所以在＋z方向上能量衰减，但是在＋x方向能量却是增加的。图5.3.3泄漏模波导通过上图我们来进一步讨论泄漏模的存在区域。泄漏模是非正规模，它只能在部分区间存在，而不能存在于所有的空间。上图中的波导结构为例：由于波在＋x方向能量以指数递增，在－z方向能量以指数递增，在上图中的无漏波区域，波的能量无限增大。从能量的角度来说，这种情况是不可能的存在的，因为它不能满足无穷远处的边界条件。否则的话在无漏波区域，波的能量将无限地增加。而在有漏波区域，由于波在＋x方向能量以指数递增，在＋z方向能量以指数递减。两种趋势处于平衡，波的能量不能无限地增加，泄漏模就能存在。•总之，漏波能且仅能存在于上述扇形区域。总的来说，在实平面内，解色散方程所得到的解，就是我们前面所讨论的各种导模。即波导中均匀平面波构成了导模，它们的参数均为实数，属正规模。它是波