微分几何第二章

第二章曲线论微分几何第二章曲线论曲线的概念平面曲线空间曲线第二章内容概要本章我们讨论曲线的概念、平面曲线和空间曲线的微分几何性质．内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理等．重点：伏雷内标架、曲率、挠率的计算、伏雷内公式的应用．如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进行讨论．返回章首2.1曲线的概念一元向量函数r(t)所描绘的图形C叫曲线，r(t)叫曲线C的参数化，或者叫曲线的向量函数，t叫曲线的参数．曲线C连同它的参数化r(t)一起叫参数曲线．参数曲线用C:r=r(t)表示．如果对某个t0使得r'(t0)≠0，就称r(t0)（或者简称t0）是曲线的正则点．如果曲线上处处是正则点，就称该曲线是正则曲线，相应的参数叫正则参数．今后为了简便，我们把“参数曲线”简称为“曲线”；把R2中的曲线叫平面曲线，把R3中的曲线叫空间曲线．返回章首圆弧.曲线C:r=(cost,sint),t∈(0,2p)是正则曲线，它是一条半径为1的圆弧．（如图）返回章首tOcostsint2.1曲线的概念-曲线的例子圆弧(cost,sint)2.1曲线的概念-曲线的例子抛物线抛物线.曲线C:r=(x,x2),x∈(–∞,+∞)也是一条正则曲线，它是抛物线．返回章首圆柱螺线.曲线C:r=(acost,asint,bt),t∈(–∞,+∞)也是一条正则曲线，它是缠绕在半径为a的圆柱面x2+y2=a2上的一条圆柱螺旋线．返回章首2.1曲线的概念-曲线的例子圆柱螺线2.1曲线与曲面的概念-曲线的切线和法平面返回章首POCr'(t0)r设有曲线C:r=(x(t),y(t),z(t))．一点P，对应的参数设为t0．以r'(t0)作为方向向量的直线叫做曲线C在P曲面在P点的法平面．在曲线上固定把过P点，且过P点且垂直于切向量的平面叫做点的切线；切线法平面2.1曲线与曲面的概念-曲线的切线和法平面方程000000()(())()(())()(())0.xtXxtytYytztZzt该曲线在该点的法平面方程为000000()()().()()()XxtYytZztxtytzt曲线C:r(t)=(x(t),y(t),z(t))在点r(t0)=(x(t0),y(t0),z(t0))处的切线方程为返回章首2.1曲线与曲面的概念-切线和法平面举例sincos()()()cos0.sinatXatatYatbZbt法平面方程为cossinsincos.XatYatZbtatatb解：圆柱螺线为C:r=(acost,asint,bt),切向量是r'=(–asint,acost,b).所以切线方程为例.求圆柱螺线的切线与法平面方程．返回章首2.1曲线与曲面的概念-曲线的弧长例.求星形线（如图）C:r(t)=(acos3t,asin3t),0≤t≤2p的弧长．设有一段正则曲线r(t)=(x(t),y(t),z(t))，a≤t≤b．则该曲线的弧长为|()|d.baLttr返回章首2.1曲线与曲面的概念-曲线的弧长解：由于星形线关于原点对称，所以只需计算曲线在第一象限部分的弧长．当0≤t≤p/2时有|r'(t)|=3asintcost．所以第一象限部分的弧长为因此，星形线的弧长为6a．/20/20sincos|()|d33d.2Lttaatttppr返回章首练习题1．求旋轮线x=a(t–sint),y=a(1–cost)在0≤t≤2p一段的弧长．2．求圆柱螺线x=3acost,y=3asint,z=4at从点(3a,0,0)到任一点的弧长．3．将圆柱螺线r(t)=(acost,asint,bt)化成自然参数形式．4．求封闭曲线r(t)=(cos3t,sin3t,cos2t)的全长．返回章首2.2平面曲线内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏雷内公式等重点：曲率与相对曲率的计算返回章首2.2平面曲线-伏雷内标架设平面曲线C:r=r(s)以弧长为参数，则其切向量a(s)=r∙(s)是一个单位向量，即a(s)∙a(s)=1．两边求导数得a(s)⋅a∙(s)=0，所以a(s)垂直于a∙(s)，这说明a∙(s)是曲线的法向量．令b=a∙/|a∙|，则对于每一个s，[r(s);a(s),b(s)]构成平面曲线C上的一个幺正标架，我们称之为曲线C上的伏雷内标架．返回章首由导数的定义我们可知b总是指向曲线弯曲的那一侧．Ca(s)()()()sssssααβ2.2平面曲线-b的指向返回章首2.2平面曲线-伏雷内公式由b的定义有a∙(s)=|a∙(s)|b(s)．令k(s)=|a∙(s)|，则有a∙(s)=k(s)b(s).我们把k(s)叫曲线C在r(s)处的曲率．定理.（伏雷内公式）我们有a∙=kb,b∙=–ka.以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式．返回章首2.2平面曲线-曲率计算公式平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零．3/22||().1()yxyk如果曲线方程为y=y(x)，取x为参数，则曲线的参数表示为r=(x,y(x))，其曲率为3/222|()()()()|().()()xtytxtyttxtytk定理.设曲线C:r(t)=(x(t),y(t))，则其曲率为返回章首2.2平面曲线-例子例.求椭圆(x2/a2)+(y2/b2)=1的曲率．3/22222si()nco.sabtatbtk解：椭圆可参数化为r(t)=(acost,bsint)，参数方程为x=acost,y=bsint，所以有x'=–asint,x''=–acost,y'=bcost,y''=–bsint.代入曲率公式得返回章首练习题1．求曲线y=sinx的曲率．2．求曲线x=acos3t,y=asin3t的曲率．返回章首2.2平面曲线-在一点附近的结构设曲线C:r=r(s)．则当k(s)不为0时，曲线近似于抛物线．当k(s)=0，但k∙(s)不为0时，曲线近似于一条近似立方抛物线．（看证明）返回章首2.3E3的曲线内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平面、一般螺旋线等重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从切平面方程、伏雷内公式的应用返回章首2.3空间曲线-密切平面过曲线C上一点P处的切线和曲线上位于P点附近的另一点Q作一平面s(Q)．当Q沿曲线趋向于P时s(Q)的极限位置s称为曲线C在P点的密切平面．过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线的平面），而密切平面则是在P点附近最贴近于曲线的平面．平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的平面，而直线的密切平面不确定，或者说直线有无穷多个密切平面．返回章首2.3空间曲线-密切平面方程000000000()()()()()()0.()()()XxtYytZztxtytztxtytzt用坐标把密切平面方程表示为：(R–r(t0),r'(t0),r''(t0))=0.设曲线C:r=(x(t),y(t),z(t))是光滑的，P是曲线上一点，其参数是t0．设R=(X,Y,Z)是P点的密切平面上任意一点，则密切平面方程为：返回章首例.求螺旋线r=(cost,sint,t)在点P(1,0,0)处的密切平面方程．解：直接计算得r'(t)=(–sint,cost,1),r''(t)=(–cost,–sint,0).在给定点P处的参数t=0，所以有r(0)=(1,0,0)，r'(0)=(0,1,1)，r''(0)=(–1,0,0)．代入密切平面方程并整理得–Y+Z=0．2.3空间曲线-例子返回章首2.3空间曲线-基本向量与伏雷内标架设有空间曲线C:r=r(s)，s是弧长参数单位切向量a=r∙单位主法向量b=a∙/|a∙|（设r∙∙不为零）单位副法向量g=a∧b曲线C的伏雷内标架[r;a,b,g]CabgrO返回章首伏雷内标架CPbag主法向量和副法向量决定的平面是法平面切向量和副法向量决定的平面叫从切平面切向量和主法向量决定的平面就是密切平面2.3空间曲线-三棱锥返回章首2.3空间曲线-基本向量的计算公式设C:r=r(t)由一般参数给出，则三个基本向量的计算公式为a=r'/|r'|,g=(r'∧r'')/|r'∧r''|,b=g∧a.返回章首2.3空间曲线-例子例.求螺旋线r=(cost,sint,t)在点P(1,0,0)处的三个基本向量．解：直接计算得r'(t)=(–sint,cost,1),r''(t)=(–cost,–sint,0).在给定点P处的参数t=0，所以有r'(0)=(0,1,1)，r''(0)=(–1,0,0)．代入上面的基本向量计算公式得11(0,1,1),(1,0,0),(0,1,1).22αβγ返回章首练习题1．求曲线x=acost,y=bsint,z=et在t=0点的切线、主法线、副法线、密切平面、从切平面与法平面方程．2．证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无关．返回章首2.3空间曲线-曲率与挠率设C:r=r(s)是空间曲线，称k(s)=|a∙(s)|为曲线C在点r(s)处的曲率，而a∙叫曲率向量．空间曲线除了弯曲外，还有扭转．为了刻画扭转的程度，我们引进挠率的概念．我们把t叫曲线的挠率，这里||,0;||,0.tγγβγγβ返回章首2.3空间曲线-伏雷内公式定理.（伏雷内公式）a∙=kb,b∙=–ka+tg,g∙=–tb.返回章首2.3空间曲线-曲率与挠率计算公式2(,,).||trrrrr挠率：3||.||krrr曲率：用一般参数表示的曲率与挠率计算公式返回章首2.3空间曲线-曲率与挠率为零的曲线曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直线．曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平面曲线．返回章首2.3空间曲线-曲率和挠率计算举例解：直接计算得：r=(–asinq,acosq,b),r''=(–acosq,–asinq,0),r'''=(asinq,–acosq,0),|r'|=(a2+b2),r'∧r''=(absinq,–abcosq,a2),|r'∧r''|=(a2b2+a4)1/2,(r',r'',r''')=a2b,所以有k=a/(a2+b2),t=b/(a2+b2).例：求圆柱螺旋线r=(acosq,asinq,bq)的曲率和挠率．返回章首练习题1．求曲线r(t)=(acosht,asinht,at)的曲率和挠率，这里a0．2．求曲线r(t)=(a(3t–t3),3at2,a(3t+t3))的曲率和挠率，这里a0．3．求a、b，使曲线r(t)=(acosht,asinht,bt)上每一点的曲率和挠率相等．返回章首2.3空间曲线-一般螺旋线定理.设有曲线C:r=r(s)，（假定kt≠0）则下列条件等价：C是一般螺线；C的主法向量与固定方向垂直；C的副法向量与固定方向成定角；C的曲率与挠率之比是常数．如果曲线的切向量与固定方向成定角，则称该曲线为一般螺线．看证明返回章首证：由伏雷内公式得r∙∙=a∙=kb，r∙∙∙=(kb)∙=–k2a+k∙b+ktg,r∙∙∙∙=–3kk∙a+(k∙∙–k3–kt2)b+((kt)∙+tk∙)g.所以，(r∙∙,r∙∙∙,r∙∙∙∙)=k5(t/k)∙,由此即得结论．例.曲线r=r(s)是一般螺线的充分必要条件是(r∙∙,r∙∙∙,r∙∙∙∙)=0．2.3空间曲线-例子返回章首2.3空间曲线-曲线在一点附近的结构空间曲线在一点附近的形状（设kt≠0）：在法平面上的投影为半立方抛物线；在从切平面上的投影为立方抛物线；在密切平面上的投影为抛物线；从不穿过从切平面；b总是指向凹入的方向．abg返回章首abggabagb法平面从切平面密切平面2.3空间曲线-曲线在一点附近的结构练习题1．求曲线x=etcost,y=etsint,z=et在t=0处的切线方程．2．求曲线x=t,y=t2,z=t3经过已知点M0(2,–1/3,–6)的密切平面方程