北京市西城区2018届高三一模文科数学试题Word含答案

西城区高三统一测试数学（文科）2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}AxxR，2{|230}BxxxR，则AB（A）{|1}xxR（B）2{|1}3xxR（C）2{|3}3xxR（D）{|3}xxR2．若复数(i)(34i)a的实部与虚部相等，则实数a（A）7（B）7（C）1（D）13．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（A）2（B）3（C）4（D）54．若函数2,0,()3(),0xxfxgxx是奇函数，则1()2f（A）233（B）233（C）29（D）295．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A）33（B）932（C）63（D）6236．已知二次函数2()fxaxbxc．则“0a”是“()0fx恒成立”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7．已知O是正方形ABCD的中心．若DOABAC，其中，R，则（A）2（B）12（C）2（D）28．如图，在长方体1111ABCDABCD中，12AAAB，1BC，点P在侧面11AABB上．满足到直线1AA和CD的距离相等的点P（A）不存在（B）恰有1个（C）恰有2个（D）有无数个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数1()lnfxx的定义域是____．10．已知x，y满足条件1,1,10,xyxyx≤≤≥则2zxy的最小值为____．11．已知抛物线28yx的焦点与双曲线2221(0)xyaa的一个焦点重合，则a____；双曲线的渐近线方程是____．12．在△ABC中，7b，5c，3B，则a____．13．能够说明“存在不相等的正数a，b，使得abab=”是真命题的一组a，b的值为____．14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）设等差数列{}na的公差不为0，21a，且2a，3a，6a成等比数列．（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设数列{}na的前n项和为nS，求使35nS成立的n的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2coscos()3fxxxm的部分图象如图所示．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求0x的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）18．（本小题满分14分）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，25ABAC，4BC．将△ADE沿DE折起到△1ADE的位置，使得平面1ADE平面BCED，F为1AC的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//EF平面1ABD；（Ⅱ）求证：平面1AOB平面1AOC；（Ⅲ）线段OC上是否存在点G，使得OC平面EFG？说明理由．图1图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，以椭圆C的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A是椭圆C的右顶点，点B在x轴上．若椭圆C上存在点P，使得90APB，求点B横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e(ln)xfxax，其中aR．（Ⅰ）若曲线()yfx在1x处的切线与直线exy垂直，求a的值；（Ⅱ）记()fx的导函数为()gx．当(0,ln2)a时，证明：()gx存在极小值点0x，且0()0fx．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D2．B3．C4．A5．D6．B7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)10．511．3，30xy12．313．3,32（答案不唯一）14．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d，0d．因为2a，3a，6a成等比数列，所以2326aaa．[2分]即2(1)14dd，[4分]解得2d，或0d（舍去）．[6分]所以{}na的通项公式为2(2)23naandn．[8分]（Ⅱ）因为23nan，所以2121()()222nnnnaanaaSnn．[10分]依题意有2235nn，解得7n．[12分]使35nS成立的n的最小值为8．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f，[2分]所以2ππ2coscos133m，解得12m．[4分]（Ⅱ）因为π1()2coscos()32fxxx1312cos(cossin)222xxx[6分]213sincoscos2xxx31sin2cos222xx[9分]πsin(2)6x．[10分]所以()fx的最小正周期2ππ2T．[11分]所以02ππ7π326x．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000，被该企业录用的人数为264169433．所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P．[3分]（Ⅱ）记应聘E岗位的男性为1M，2M，3M，被录用者为1M，2M；应聘E岗位的女性为1F，2F，3F，被录用者为1F，2F．[4分]从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,MFMFMFMFMFMFMFMFMF．[7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,MFMFMFMF．[8分]记“从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K，则4()9PK．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）取线段1AB的中点H，连接HD，HF．[1分]因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以//DEBC，12DEBC．因为H，F分别为1AB，1AC的中点，所以//HFBC，12HFBC，所以//HFDE，HFDE，所以四边形DEFH为平行四边形，[3分]所以//EFHD．[4分]因为EF平面1ABD，HD平面1ABD，所以//EF平面1ABD．[5分]（Ⅱ）因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以ADAE．所以11ADAE，又O为DE的中点，所以1AODE．[6分]因为平面1ADE平面BCED，且1AO平面1ADE，所以1AO平面BCED，[7分]所以1COAO．[8分]在△OBC中，4BC，易知22OBOC，所以COBO，所以CO平面1AOB，[9分]所以平面1AOB平面1AOC．[10分]（Ⅲ）线段OC上不存在点G，使得OC平面EFG．[11分]否则，假设线段OC上存在点G，使得OC平面EFG，连接GE，GF，则必有OCGF，且OCGE．在Rt△1AOC中，由F为1AC的中点，OCGF，得G为OC的中点．[12分]在△EOC中，因为OCGE，所以EOEC，这显然与1EO，5EC矛盾！所以线段OC上不存在点G，使得OC平面EFG．[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．依题意，得22ca，22ab，且222abc．[3分]解得2a，2b．所以椭圆C的方程为22142xy．[5分]（Ⅱ）“椭圆C上存在点P，使得90APB”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得0PAPB成立”．[6分]依题意，(2,0)A．设(,0)Bt，(,)Pmn，则2224mn，[7分]且(2,)(,)0mntmn，即2(2)()0mtmn．[9分]将2242mn代入上式，得2(2)()204mmtm．[10分]因为22m，所以202mtm，即22mt．[12分]所以2222t，解得20t，所以点B横坐标的取值范围是(2,0)．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）11()e(ln)ee(ln)xxxfxaxaxxx．[2分]依题意，有(1)e(1)efa，[3分]解得0a．[4分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得1()e(ln)xgxaxx，所以2211121()e(ln)e()e(ln)xxxgxaxaxxxxxx．[6分]因为e0x，所以()gx与221lnaxxx同号．设221()lnhxaxxx，[7分]则223322(1)1()xxxhxxx．所以对任意(0,)x，有()0hx，故()hx在(0,)单调递增．[8分]因为(0,ln2)a，所以(1)10ha，11()ln022ha，故存在01(,1)2x，使得0()0hx．[10分]()gx与()gx在区间1(,1)2上的情况如下：x01(,)2x0x0(,1)x()gx0+()gx↘极小值↗所以()gx在区间01(,)2x上单调递减，在区间0(,1)x上单调递增．所以若(0,ln2)a，存在01(,1)2x，使得0x是()gx的极小值点．[11分]令0()0hx，得002012lnxaxx，所以000002012()e(ln)e0xxxfxaxx．[13分]