第八章二重积分的计算(1)

微积分莫兴德广西大学数信学院rxdtdxEmail:[e-mail]微积分微积分链接目录第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理,导数的应用第五章不定积分第六章定积分第七章无穷级数(不要求)第八章多元函数第九章微分方程复习微积分参考书[1]赵树嫄.微积分.中国人民出版社[2]同济大学.高等数学.高等教育出版社微积分第八章多元函数•空间解析几何简介•多元函数的概念•二元函数的极限与连续•偏导数•全微分•复合函数的微分法•隐函数的微分法•二元函数的极值•二重积分微积分8-9二重积分微积分iiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(,)(212iiiiirrr.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxfAoDiiiiirriirrr二重分积的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分微积分二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图极点在区域之外ADo)(1r)(2r)}.()(,|),{(21rrDDrdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()()(21rdrrrfdAoD)(1r)(2r微积分二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图（极点在D的边界上）AoD)(r)}.(0,0|),{(rrDDrdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(0rdrrrfd微积分二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图（极点在D的内部）DoA)(r)}.(0,20|),{(rrDDrdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd极坐标系下区域的面积.Drdrd微积分例1写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.解在极坐标系下sincosryrx1yx122yx所以圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd微积分例2计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下dxdyeDyx22arrdred0202).1(2ae}.0,20|),{(arrD微积分例3求广义积分02dxex.解}|),{(2221RyxyxDS1D2D}2|),{(2222RyxyxD}0,0|),{(RyRxyxS}0,0{yx显然有21DSD,022yxe122DyxdxdyeSyxdxdye22.222Dyxdxdye微积分又SyxdxdyeI22RyRxdyedxe0022;)(202Rxdxe1I122DyxdxdyeRrrdred0022);1(42Re同理2I222Dyxdxdye);1(422Re,21III);1(4)()1(4222220RRxRedxee当R时,,41I,42I微积分故当R时,,4I即20)(2dxex4,所求广义积分02dxex2.例4计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解03xy32yyx422sin4r03yx61微积分yyx222sin2rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15例5计算二重积分Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.解由对称性，可只考虑第一象限部分，14DD注意：被积函数也要有对称性.微积分Ddxdyyxyx2222)sin(412222)sin(Ddxdyyxyx210sin42rdrrrd.4例6求曲线)(2)(222222yxayx和222ayx所围成的图形的面积.解根据对称性有14DD在极坐标系下,222arayx)(2)(222222yxayx,2cos2ar微积分由arar2cos2,得交点)6,(aA,所求面积Ddxdy14Ddxdy2cos2064aardrd).33(2a例7计算RxyxDdyxRD22222:,解rdrrRdIR22cos0222223220cos)(31dRrR微积分22232223])cos([31dRRRdR]sin1[322332033)sin1(32dR)34(33R|)sin|)(sin(3232注意微积分思考题交换积分次序:).0(),(cos022adrrfdIa二、小结二重积分在极坐标下的计算公式Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()()(21rdrrrfd.)sin,cos()(0rdrrrfd.)sin,cos()(020rdrrrfd（在积分中注意使用对称性）微积分思考题解答oxycosaraDararccosararccos,cos022:arD.),(arccosarccos0araradrfdrI微积分练习题一、填空题:1、将Ddxdyyxf),(,D为xyx222,表示为极坐标形式的二次积分,为_____________________.2、将Ddxdyyxf),(,D为xy10,10x,表示为极坐标形式的二次积分为______________.3、将xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二次积分为______________________.4、将2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分为______________________.微积分5、将xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积分为_______________,其值为_______________.二、计算下列二重积分:1、Ddyx)1ln(22,其中D是由圆周122yx及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.2、Ddyx)(22其中D是由直线xy,)0(3,,aayayaxy所围成的区域.3、DdyxR222,其中D是由圆周Rxyx22所围成的区域.4、Ddyx222,其中D:322yx.微积分三、试将对极坐标的二次积分cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交换积分次序.四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线2r上一段弧(20)与直线2所围成,它的面密度为22),(yxyx,求这薄片的质量.五、计算以xoy面上的圆周axyx22围成的闭区域为底，而以曲面22yxz为顶的曲顶柱体的体积.微积分练习题答案一、1、rdrrrfdcos2022)sin,cos(；2、1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3、sec2034)(rdrrfd；4、sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5、2cossin0401rdrrd,12.二、1、)12ln2(4；2、414a；微积分3、)34(33R；4、25.三、4420)sin,cos(drrfrdrIaararaadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(.四、405.五、4323a.