2013-2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

1（第3题图）俯视图侧视图正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合{0,1,2}M，{}Nx，若{0,1,2,3}MN，则x的值为（）A．3B．2C．1D．02．设1,(1)()2,(1)xfxxx，则(1)f的值为（）A．0B．1C．2D．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）.A.圆柱B.三棱柱C.球D.四棱柱4．函数2cos,yxxR的最小值是（）A．-3B．-1C．1D．35．已知向量(1,2),(,4)xab，若a∥b，则实数x的值为（）A．8B．2C．-2D．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15,5,25B．15,15,15C．10,5,30D．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（）A．15B．14C．49D．598．已知点(,)xy在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则zxy的最大值是（）A．1B．2C．3D．59．已知两点(4,0),(0,2)PQ，则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．22(2)(1)5xyB．22(2)(1)10xyC．22(2)(1)5xyD．22(2)(1)10xy10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,AB到点C的距离1ACBCkm，且0120ACB，则,AB两点间的距离为（）A．3kmB．2kmC．1.5kmD．2kmyxo(3,2)(1,2)(1,0)（第8题图）1km120°1kmCBA（第10题图）2开始输入x0?x21yx输出yyx结束是否（第14题图）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：22log1log4.．12．已知1,,9x成等比数列，则实数x．13．经过点(0,3)A，且与直线2yx垂直的直线方程是．14．某程序框图如图所示，若输入的x的值为2，则输出的y值为.15．已知向量a与b的夹角为4，2a，且4ab，则b.三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分6分）已知1cos,(0,)22（1）求tan的值；（2）求sin()6的值.317．（本小题满分8分）某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清.(1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，BCBD，3BC，4BD，直线AD与平面BCD所成的角为045，点,EF分别是,ACAD的中点.（1）求证：EF∥平面BCD；（2）求三棱锥ABCD的体积.频率组距早餐日平均费用（元）a0.100.05121086420（第17题图）FEDCBA（第18题图）419．（本小题满分8分）已知数列na满足：313a，14nnaa(1,)nnN.（1）求12,aa及通项na；（2）设nS是数列na的前n项和nS，则数列1S，2S，3S，…中哪一项最小？并求出这个最小值.20．（本小题满分10分）已知函数()22xxfx()R（1）当1时，求函数()fx的零点；（2）若函数()fx为偶函数，求实数的值;（3）若不等式12≤()fx≤4在[0,1]x上恒成立，求实数的取值范围.52013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题题号12345678910答案ABCABDCDCA二、填空题11、2；12、±3；13、30xy；14、2；15、4三、解答题：16、（1）(0,),cos02，从而23cos1sin2（2）231sin2cos22sincos12sin217、（1）高一有：20012001202000（人）；高二有20012080（人）（2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75人数为0.7520001500（人）18、（1）2(0)62()26(1)156fbafxxxfabb（2）22()26(1)5,[2,2]fxxxxx1x时，()fx的最小值为5，2x时，()fx的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8nnaaaaa*12(2,)nnannNa，na为首项为2，公比为2的等比数列，1222nnna(2)22loglog2nnnban，(1)1232nnnSn20、（1）22:(1)(2)5Cxyk，(1,2)C（2）由505kk（3）由22224051680(1)(2)5xyyykxyk设1122(,),(,),MxyNxy则1212168,55kyyyy，2241620(8)05kk611221212121241624,24,(24)(24)4[2()4]5kxyxyxxyyyyyy1212,0,OMONxxyy即41688240()5555kkkk满足72014年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页时量120分钟，满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A.圆柱B.圆锥C.圆台D.球2.已知元素{0,1,2,3}a，且{0,1,2}a，则a的值为A.0B.1C.2D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为A.15B.25C.35D.454.某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是A.2B.3C.4D.55.在△ABC中，若0ABAC，则△ABC的形状是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形6.sin120的值为A.22B.1C.32D.227.如图，在正方体1111ABCDABCD中，异面直线BD与11AC的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D.异面且垂直8.不等式(1)(2)0xx的解集为A.{|12}xxB.{|12}xxC.{|12}xxx或D.{|12}xxx或89.点(,1)Pm不在不等式02yx表示的平面区域内，则实数m的取值范围是A.1mB.1mC.1mD.1m10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.11.样本数据2,0,6,3,6的众数是.12.在ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知11,2,sin3abA，则sinB＝.13.已知a是函数22logfxx的零点,则实数a的值为.14.已知函数sin(0)yx在一个周期内的图像如图所示，则的值为.15.如图1，矩形ABCD中，2,,ABBCEF分别是,ABCD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个二面角AEFC（如图2）则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角为.三、解答题：本大题共5小题，满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分6分）已知函数,[0,2],()4,(2,4].xxfxxx9（1）画出函数()fx的大致图像；（2）写出函数()fx的最大值和单调递减区间.17.（本小题满分8分）某班有学生50人，期中男同学300人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动.（1）求从该班男、女同学中各抽取的人数；（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.18.（本小题满分8分）已知等比数列{}na的公比2q，且234,1,aaa成等差数列.（1）求1naa及；（2）设nnban，求数列{}nb的前5项和5S.1019.（本小题满分8分）已知向量(1,sin),(2,1).ab（1）当6时，求向量2ab的坐标；（2）若a∥b，且(0,)2，求sin()4的值.20.（本小题满分10分）已知圆22:230Cxyx.（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于1122(,),B(,)Axyxy两点，求证：1211xx为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于,DE两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大.112014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，满分40分）题号12345678910答案CDBBACDACA二、填空题（每小题4分，满分20分）11.612.2313.414.215.45（或4）三、解答题（满分40分）16.解：(1)函数fx的大致图象如图所示;……………………………2分(2)由函数fx的图象得出,fx的最大值为2,………………4分其单调递减区间为2,4.…………6分17.解:(1)305350(人),205250(人),所以从男同学中抽取3人,女同学中抽取2人;……………………………………4分(2)过程略.3()5PA.……………………………………………………………………………8分18.解:(1)12nna;………………………………………………………………4分(2)546S.……………………………………………………………………………8分19.解:(1)4,2;…………………………………………………………………4分(2)264.………………………………………………………………………8分20.解:(1)配方得2214xy,则圆心C的坐标为1,0,……………………2分圆的半径长为2;………………………………………………………………………4分(2)设直线l的方程为ykx,联立方程组22230xyxykx,12消去y得221230kxx,………………………………………………5分则有:1221222131xxkxxk………………………………………………6分所以1212121123xxxxxx为定值.………………………………………………7分(3)解法一设直线m的方程为ykxb,则圆心C到直线m的距离12bd,所以222224DERdd,…………………………………8分222414222CDEddSDEddd,当且仅当24dd,即2d时,CDE的面积最大,…………………………9分从而122b,解之得3b或1b,故所求直线方程为30xy或10xy.……………………………………10分解法二由(1)知2CDCER,所以1sin2sin22CDESCDCEDCEDCE,当且仅当CDCE时,CDE的面积最大,此时22DE,…………………………