3.4(随机变量的相互独立性)

定义3.9设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分布函数为F(x1，x2，…，xn)，FXi(xi)为Xi的边缘分布函数，如果对任意n个实数x1，x2，…，xn，有则称X1，X2，…，Xn相互独立．3.4随机变量的相互独立性niiXnxFxxxFi121)(),,,(即niiinnxXPxXxXxXP12211}{},,,{第3章多维随机变量及其分布3.4随机变量的相互独立性易知，在离散型随机变量的情形，如果对于任意n个取值x1，x2，…，xn，有则X1，X2，…，Xn相互独立．在连续型随机变量的情形，如果下式几乎处处成立则X1，X2，…，Xn相互独立．这里“几乎处处成立”是指除去测度为零的点集外处处成立．niiinnxXPxXxXxXP12211}{},,,{niiXnxfxxxfi121)(),,,(},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX特别地，二维的情形2)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipyYxXPijji).()(),(yFxFyxFYX相互独立和YX则有边缘分布函数分别为的联合分布函数为设随机变量),(),(),,(),()1yFxFyxFYXYX相互独立和即YXjiijPPP..},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX相互独立和即YXjiijPPP..3.4随机变量的相互独立性相互独立和YX则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),()3yfxfyxfYXYX在平面上几乎处处成立。在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面积为零的集合，在其上等式不成立.)()(),(yfxfyxfYX).()(),(yfxfyxfYX3.4随机变量的相互独立性3.4随机变量的相互独立性【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值．解：首先写出两个边缘边缘分布律YXy1y2y3x1a1/9cx21/9b1/3YXy1y2y3pi.x1a1/9ca+c+1/9x21/9b1/3b+4/9p.ja+1/9b+1/9c+1/3a+b+c+5/9=13.4随机变量的相互独立性利用X与Y相互独立的条件，,3223ppp再由),31)(94(31cb即,6192cb代入解得将.181195acba得最后利用,2222ppp由),91)(94(bbb即.9/2b解之得YXy1y2y3pi.x1a1/9ca+c+1/9x21/9b1/3b+4/9p.ja+1/9b+1/9c+1/3a+b+c+5/9=13.4随机变量的相互独立性【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量求Z的分布律，(X，Z)的分布律，并问X与Z是否独立？解：由X与Y的分布律及独立性得到下表：为奇数当为偶数当YXYXZ01X01与Y01pi0.50.5pj0.50.5(1，1)(1，0)(0，0)(0，1)(X，Z)1001Z(1，1)(1，0)(0，1)(0，0)(X，Y)0.250.250.250.25pij10.5pi.0.50.250.2510.50.250.250p.j10XZ(X，Z)的分布律及边缘分布律为：由于P{X=i，Z=j}=0.25=0.50.5=P{X=i}P{Z=j}（i，j=0，1），所以X与Z独立．0.53.4随机变量的相互独立性3.4随机变量的相互独立性【例3.18】某电子仪器由两部件构成，以X和Y分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为，问X与Y是否独立？解法一：由边缘分布函数的定义知显然，对任意实数，均有，故X与Y独立．其它,0;0,0,1),()(5.05.05.0yxeeeyxFyxyx0,00,1),(lim)(5.0xxeyxFxFxyX0,00,1),(lim)(5.0yyeyxFyFyxY)()(),(yFxFyxFYX3.4随机变量的相互独立性解法二：由分布函数与概率密度的关系知因而对任意的,均有，故X与Y独立．其它,0;0,0,1),()(5.05.05.0yxeeeyxFyxyx其它,00,0,25.0),(),()(5.02yxeyxyxFyxfyx0,00,5.00,0025.0),()(5.00)(5.0xxexxdyedyyxfxfxyxX0,00,5.00,0025.0),()(5.00)(5.0yyeyydyedxyxfyfyyxYyx,)()(),(yfxfyxfYX【补充例】种保险丝的寿命(以一百小时计)X服从指数分布,其概率密度为(1)有两只这种保险丝，其寿命分别为设相互独立，求的联合概率密度.(2)在(1)中，一只是原装的，另一只是备用的，备用的只在原装的熔断时自动投入工作，于是两只保险丝的总寿命为，求.,00,31)(3其它xexfx,,21XX21,XX21,XX21XX}.1{21XXP3.4随机变量的相互独立性因两只保险丝的寿命相互独立，故的联合概率密度为,,21XX21,XXＸ１概率密度为.,00,31)(131X11其它xexfxＸ２概率密度为.,00,31)(232X22其它xexfx)()(),(212121xfxfxxfXX解(1).,0,0,0),31)(31(213321其它xxeexx3.4随机变量的相互独立性.,0,0,091),(2132121其它即）（xxexxfxx(2)}1{21XXP2121),(xddxxxfD2110103/)(dd91221xxexxx1x2x121xxDO112110103/3/)d(91212dxxeexxx231103/)33(9122dxeexx31341e3.4随机变量的相互独立性【例3.19】设服从二维正态分布，则X与Y相互独立的充要条件是ρ=0.证：二维正态分布的概率密度为由例3.11知，的乘积为因此，若ρ=0，则对所有x,y有即X与Y独立．3.4随机变量的相互独立性})())((2)(()1(21exp{121),(2222212121212221yyxxyxf)(),(yfxfYX]})()([21exp{21)()(2222212121yxyfxfYX)()(),(yfxfyxfYX反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是连续函数，故对所有的x,y，有特别，令，可以得到从而)()(),(yfxfyxfYX21,yx2122121121.03.4随机变量的相互独立性),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131的分布律为已知),(YX.,(2);)1(的值与求相互独立与若应满足的条件与求YX☺课堂练习(1)由分布律的性质知,0,0,132.310,0:且应满足的条件是与故XY32112619118131}{ixXP3131}{jyYP219118132的分布律改写为解：将),(YX)3,2,1;2,1(},{}{jiyYPxXPpjiij特别有91319112p,92又,31.91得(2)因为X与Y相互独立,所以有