微积分――极限计算

微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]一、数列极限计算1.单调有界准则(掌握例题和习题)2.夹逼定理(掌握例题和习题)3.利用函数极限计算方法第四节极限的计算二、函数极限计算(一)一般极限计算利用代入法、复合函数极限计算方法和极限四则运算法则直接进行计算。微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]型：(1)上下同除最大项(抓大头)(2)罗比达法则1.00型2.：(1)约零因子(基本方法)(2)分解因式(基本方法)(3)根式有理化(基本方法)(4)等价无穷小代换（重点、难点）(5)罗比达法则(重点)(6)三角变换(辅助方法)(7)变量替换(适当掌握)(二)未定式的计算微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]型3.：（1）根式有理化（2）通分0型4.：化为、00fxgx型：5.（1）化为lngxfxe0010，，（2）利用重要极限10lim1+xxxe1型微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]一、数列极限计算1.使用单调有界准则求极限步骤：（1）利用数学归纳法证明数列“单调”、“有界”，从而证明极限存在；（2）利用求出极限。技巧：先猜测（数列的单调性和界），再证明。1limlimnnnnyy微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例求数列,333,33,3的极限.解：1.存在性令,333,33,3321yyy(1)单调性1n时1333333321yy设kn时1kkyy1kn时1kkyy133kkyy21kkyy故对一切正整数n有,1nnyy所以数列递增.微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail](2)有界性1n时331ykn时设3ky1kn时233ky3ky33ky31ky故对一切正整数n有3ny,所以数列有界.综上所述,数列极限存在.微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail](2)求值设Aynnlim将13nnyy两边求极限得1lim3limnnnnyy即AA3故3A微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]2.使用夹逼定理求极限方法：通过放缩，得到两个“方便计算”且“极限相同”的数列。技巧：动小不动大。例求)12111(lim222nnnnn解nnnn22212111nnn212nn1lim2nnnn11lim2nnn因为且所以原式1微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例求nnnnnnn1)54321(lim解因为nnnnnn1)54321(nn1)5(nn1)55(5n155且55limn5)55(lim1nn所以原式5微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]二、函数极限计算(一)一般极限计算利用代入法、极限四则运算法则和复合函数极限计算方法直接进行计算。1limxxe101001limsinxxx0000=有界1limxxe1.一些常见结果微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]（1）极限不为零的因子可以分离单独计算0+3limcosxxxx例001+3=limlimcosxxxxx03=lim1xx（2）极限存在的和式可以拆分单独计算03=1limxx=2.四则运算法则的灵活运用——分离常量微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]型：上下同除最大项(抓大头)1.(二)未定式的计算例122231lim342xxxxx求解原式2322312lim423xxxxx微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例2243132lim232xxxxx求解原式233231lim423xxxxxx.0或原式22312lim234xxxxx.0微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例3xxxxx3345243lim求解原式43423lim51xxxxxmmmnnnxbxbxbaxaxa110110lim0mnmnmn00ba微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例42xx2lim1xxx221lim111xx＝12微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例522lim1xxxx22lim1xxxxxx221lim1xxxxx221lim111xxx12微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例6xxxxxeeeelimxxxee2211lim1例723()()44lim3()14xxxx23lim34xxxxx0例8sinlimcosxxxxxsin1limcos1xxxxx1微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例求22025lim2xxxxx解原式025lim2xxxxx025lim2xxx5200型2.：(1)约零因子(基本方法)微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例1求965lim223xxxx解原式)3)(3()2)(3(lim3xxxxx32lim3xxx16(2)分解因式(基本方法)微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例2求11lim1xxx解原式1(1)lim(1)(1)xxxx11lim1xx12微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例1求121lim1xxx解原式122121lm1i1xxxxx12lim111xxxx11lim21xx12(3)根式有理化(基本方法)微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例2求512lim43xxx原式511212lm2i43xxxxx5125lim43xxxx54345lim13324xxxxxx5435l1im25xxxxx54im23l1xxx32微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail](3)等价无穷小代换(重点、难点)若，在x的某变化过程下有〈Ⅰ〉常见的等价无穷小0xsinarcsintanarctanln11xxxxxxxe21cos2xx则：11xx微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]0sin5limarctan2xxx例10sin55limarctan2sin5xxxxx05limarctan2xxx05arctan2limarctan22xxxxx05lim2xxx52〈Ⅱ〉代换原理微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]32201limsinln(1)例2xxexx3202limxxxx233232222012sinln(1)limsinln(1)1xxxexxxxxxxe微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]1.寻找等价因子。sin,arcsin,tan,arctan,ln1,1,1cosxxxxxxex2.判断极限是否为零。x3.代换为极限为零的。x〈Ⅲ〉代换步骤微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例120tan2lim1cosxxx220(2)lim2xxx8微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]01sin1limarctanxxxxx20sinlim1sin1xxxxxx12例201sin1limarctanxxxxx201sin2limxxxx12例2微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例320lncoslimsinxxx20lncos11limxxx20cos1limxxx2202limxxx12微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例12ln1cotlimcosxxx注1：自变量的变化过程不影响代换。〈Ⅳ〉注意事项2cotlimcosxxx21limsinxx1微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例222limsin1xxxx22lim1xxxx222lim1xxx2微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例3sinlimxxxlimxxxsinlimxxx原式1注2：不为零，不可代换。x正解微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例430tansinlimsin2xxxx求解30)2(limxxxx原式0错30tansinlimsin2xxxx原式33sin22xxtansinxxxx无法替换注3：只换因子不换和差。微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]30tansinlimsin2xxxx33sin22xxtansinxxxx并不等价330tansinlimsin2sin2xxxxx3300tansinlimlimsin2sin2xxxxxx30tansinlimsin2xxxx30tansinlimsin2xxxx3300limlim22xxxxxx30lim2xxxx微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例430tansinlimsin2xxxx求解301sin1coslim(2)xxxx301coslim8cosxxxxx2202lim8xxx11630sinsincoslimsin2xxxxx原式微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]例130tan5cos1lim1xxxxe0tan51coslim33xxxxx2052lim()33xxx530tan5cos1lim3xxxx〈Ⅳ〉解题技巧技巧1：拆分、合并微积分河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬[e-mail]