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天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3.3.2简单的线性规划问题第二课时线性规划的实际应用天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点1线性规划解应用题例1：某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？单位产品所需资金月资金供应量电子琴洗衣机成本3020300劳动力510110单位利润68/天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学[自主解答]设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台(x，y∈N)，总利润为z百元，则根据题意，有且z＝6x＋8y，作出以上不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分．令z＝0，作直线l：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0.当移动直线l过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．解方程组得A(4,9)，代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96.所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成．上述问题即为最优化问题．在生产和生活中，常见的题目有下料问题、优化安排活动问题，优化运营问题等．2.线性规划解应用题的解题步骤：(1)建模．这是解决线性规划问题极为重要的环节．根据题意，设出变量，建立目标函数．(2)求解．列出线性约束条件，借助图形确定目标函数取得最值的位置，并求出最值．(3)还原．把数学问题还原为实际问题，以便用来指导我们的实际生活．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万m3/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万m3/天的支流并入大河(如图)．第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万m3；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万m3，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化．环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1000元/万m3，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万m3.试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点2实际应用中的最优整数解问题[自主解答]设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y∈N)，则有两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.如图所示，作直线l：x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近。例2：两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分阿司匹林小苏打可待因每片价格种类A(毫克/片）2510.1B(毫克/片）1760.2天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学解方程组，得交点A坐标.由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工．每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？钢板类型规格类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)。药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20kg，原料乙33kg，那么可以获得的最大销售额为()A．600元B．700元C．800元D．900元原料甲乙药剂A25B54解析：设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时u最大，umax＝900.答案：D天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2.电视台每周播放甲、乙两部连续剧，播放连续剧甲一次需80分钟，有60万观众收看，播放连续剧乙一次需40分钟，有20万观众收看．已知电视台每周至少播出电视剧6次，总时间不超过320分钟，则电视台最高收视率为每周观众有()A．300万人B．200万人C．210万人D．220万人解析：设电视台每周播放连续剧甲x次，连续剧乙y次，收视观众为z万人，则有即目标函数z＝60x＋20y，l0：3x＋y＝0.作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分的整点，将直线l0向可行域平移，当直线l0过A时，z有大值．由得A(2,4)，则zmax＝60×2＋20×4＝200(万人)．答案：B天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为()A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元解析：设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得的利润为u(元)，u＝450x＋350y，由题意，x，y满足关系式作出相应的平面区域，u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)在由确定的交点(7,5)处取得最大值4900元．答案：C天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学4.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域(图中阴影部分的整点)，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．答案：2300天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学5.某验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元．由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．解析：设购买每袋3kg的药品袋数为x，购买2kg的药品袋数为y，花费为z元，由题意可得作出不等式组表示的平面区域，结合图形可知，当目标函数z＝12x＋10y对应的直线过整数点(2,2)时，目标函数z＝12x＋10y取得最小值12×2＋10×2＝44，故在满足需要的条件下，花费最少为44元．答案：44天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学6.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足病人的营养需要，又使费用最省？天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学一、选择题1.有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为()A．z＝6x＋4yB．z＝5x＋4yC．z＝x＋yD．z＝4x＋5y解析：设需x辆6吨汽车，y辆4吨汽车．则运输货物的吨数为z＝6x＋4y，即目标函数z＝6x＋4y.答案：A天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2.某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为()A．2件，4件B．3件，3件C．4件，2件D．不确定解析：设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．答案：B天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3.设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心．若集合S＝{P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i＝1,2,3}，则集合S表示的平面区域是()A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域解析：由|PP0|≤|PPi|，知P落在线段P0Pi的中垂线上及靠近P0的一侧．又P在△P1P2P3内部．故表示的平面区域为六边形区域．答案：D天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学4.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元解析：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条