第03章 自激振动

第三章自激振动§3.1自激振动的机理和特征§3.2极限环与vanderPol方程§3.3工程中的自激振动问题§3.4张驰振动§3.5动态分岔第三章自激振动自激振动与周期激励的响应相比，仍然是一种周期振动，它也是靠外界能源的驱动形成的，不同的是现在的能源是一个能量不变的能源，能源本身不直接给系统提供周期性变化的能量，系统振动能量的周期性变化是靠系统固有的某种自动调节机制、周期性地向能源和环境吞吐能量形成的。量保持不变，这只能在能源的能量大大超过振动能量的前提下才能近似实现，这是自激振动系统的另一个特征。self-excitedsystem）也称为自振系统,它的特性很复杂。本章只学习单自由度系统自激振动的形成和演变的一些基本规律。§3.1自激振动的机理和特征1.自激振动的机理图3.1、图3.2为两个自振系统的实例。就电铃而言，能源为直流电源，在一定时期内，能量近似恒定，接通电源后，铃锤在电磁吸力作用下，弯曲敲击铜铃，同时电路触点断开，电磁吸力消失；在这个过程中，振系从能源吸收图3.1图3.2电能，一部分转化为铃锤的动能和弹性势能，另一部分由于材料阻尼、敲击等因素而耗散。接下来的过程是，弹性势能使铃锤恢复形状，使电源再次接通，完成一次振动，并开始下一次振动。激励下能作往复运动，同时振系内有一个固有的自动调节环节起作用，它能自动感知振系状态，根据振系状态自动调节能量的吸收，并能使振系在每个往复运动中吸收的能量逐渐等于耗散的能量，从而使振系的能量和状态周期性变化，即形成自激振动。自激振动的形成机理，可用框图表示，如图3.3。振动系统调节器能源状态反馈图3.3需要指出的是，图中的调节器就是前述的自动调节环节，对于某些振系，调节器是一个实际存在的装置，如电铃，其调节器为电磁断续器，而对很多振系，调节器并不是一个明确的装置，而是系统自身的特性和参数综合形成的一个自动控制环节。2.自激振动的特征参见课本p57的总结。§3.2极限环与vanderPol方程1.极限环从以上定性分析已知，自激振动是周期振动，因此对单自由度系统，自激振动的相轨迹是一条封闭曲线，与保守系统的自由振动相轨迹不同的是，自激振动的封闭相轨迹的形状和运动周期，是由系统的固有参数和特性决定的，而与初始条件无关。因此，自激振动的封闭相轨迹在相平面上是一条孤立的封闭曲线。在这条封闭曲线邻近的相点，将沿某一螺旋状相轨迹趋近或离开这条封闭曲线，因此称它为极限环(limitcycle)。一个振系的极限环可能不止一个，当极限环邻近的相轨迹都趋近于极限环时，该极限环是稳定的，否则，是不稳定的，如图3.4。只有稳定的极限环才对应于能够实现的自激振动，因此寻求极限环并确定其稳定性，是非线性自治系统研究中的一个最重要的问题。vanderPol振荡器是已知存在极限环的系统的一个经典例子。vanderPol方程也可以由Rayleigh方程经变换得到，Rayleigh方程为2.vanderPol方程2203,(1)0xuxxxx引入变换得图3.4(3.2)这就是vanderPol方程。对（3.2）作能量积分得220(1)0uuuu(3.1)（3.1）式对t求导，得0)31(202uuuuE为积分常数。当x的幅值较小时，上式右端第二项圆括号中的值大于零，积分值随时间增长而增大，系统的机械能增大，即系统向外界吸收能量，同时使系统的运动幅度增大，这一过程一直到积分的平均值为零才停止。当x的幅值较大，上式右端第二项圆括号中的值小于零时，系统将耗散能量，同时使系统的运动幅度减小。因此预计系统最后可能会稳定在某个周期运动状态，即自振状态。3.2）的第二项与速度有关，相当于一个阻尼项，由上述分析知，它不是常规阻尼，而是一个交变阻尼，耗散能量时，称为正阻尼，吸收能量时称为负阻尼。Rayleigh方程（3.1）中，=1，相轨迹微分方程为022222011(1)22ttxxExxdt120显然，原点是系统唯一的奇点。用Lienard方法作相轨迹，Lienard辅助曲线为2(1),,dyyyxxuyxdxy其中(3.3)2(1)xyy它也恰好是通过原点的零斜率等倾线，图3.5中的虚线。稍加考察可知，奇点附近的相轨迹是向外发散的，因此奇点为不稳定焦点。最后作出的相轨迹如图3.5。vanderPol方程的近似解，设极限环图3.5cos()cos,xAtAt代入下面的vanderPol方程22320322000(cossincos)sincos()cos()sin04,22cos()AAAAAAxt由谐波平衡得方程的解为220(1)0xxxx注意，以上近似解只有当为小参数时才成立，图3.5也是针对为小参数的情况画出的。对于为大参数的情况将在§3.4节中研究。§3.3工程中的自激振动问题1.时钟原理机械时钟的钟摆简化模型如图3.6，它是一个自激振动系统。近似恒定的能源为发条弹性能，当钟摆向平衡位置运动并)(21)sgn()(21)sgn()sgn(xIxxIxxBxx(3.4)到达摆角x=时，会受到由发条能量转换而来的脉冲力。设钟摆受到干摩擦，动力学方程可写成x图3.6系统的能量积分为其中()为Dirac函数，I为冲量；方程中忽略了重力的影响。其中E为积分常数。我们规定B。在相平面上，假定相点从x轴上的某点x=x开始运动，不失一般性，可设x0、x，接下去相点先在下半相平面运动，因此按（3.5）式进行。E后，（3.5）式变为00222211(),2211(),22xxxxyxBxEIdyxyxBxEIdyx下半相平面能量积分：上半相平面能量积分：(3.5)(3.6)xdIBBxyxx)(2)()(222(3.7)这是一个以（0,B）为圆心的圆方程。下面分三种情况分析：(1)xB：这时按（3.7）式画出的相轨迹如图3.7a，这种相轨迹是不可能出现的，因此相点只能静止不动。实际上，这时系统的弹性力没有超过最大摩擦力，弹性力与摩擦力平衡，再加上初始速度为零、没有受到脉冲的作用，因此系统将静止，相点不再运动。(2)Bx：这时系统也没有受到脉冲的作用，但是弹性力已超过最大摩擦力，系统将按干摩擦阻尼系统的规律逐渐运动。随着运动的进行，由于摩擦耗能，位移幅值将持续减小，永远不可能到达x=的位置而受到能源的激励，因此能源对系统不起作用。这种情况下，系统退化为一个纯粹的干摩擦阻尼系统，相轨迹如图3.7b。Byx图3.7（a）x(3)x：这时相点开始阶段按干摩擦阻尼系统的规律在下半相平面逐渐运动，随着位移幅值的减小，将到达x=的位置，受到脉冲的激励而吸能，激励后，系统位置不变，速度值增加，然后继续按干摩擦阻尼系统的规律运动，到达负x轴上的某一点。接下来相点进入上半相平面运动，运动情况与下半相平面的运动类似，也可能出现上述情况（2）的运动，如图3.8。上述各个结果中，只有图3.8(a)所示情况才有可能发育成一个极限环，因此对它作深入分析。由（3.5）、（3.6）式，这时的能量积分方程为图3.7（b）由于I太大能量吸收大于损耗图3.8由于I太小能量吸收小于损耗(a)(b)h222222222222()()()()2()()()()2TyxBBxyxBBIxyxBBxyxBBIxxxxxhhhh下半相平面能量积分：上半相平面能量积分：(3.8)(3.9)(3.10)(3.11)参见图3.9，其中对脉冲函数的积分要注意积分限的变化方向。hxT图3.9在（3.9）式中令y=0、x=–h，解出h得BIB2)(2xh在（3.11）式中令y=0、x=xT，解出xT得2()2TxBIBh如果能使xT=x，则相轨迹封闭而成为极限环，由(3.12)、(3.13)可求出实现这一结果应满足的条件为(3.12)(3.13)这意味着，对于给定的B、I值，当相点从点（I/2B,0）出发，将沿极限环运动。马上将证明，这个极限环是稳定的，因此系统能实现自激振动，极限环如图3.10；其振幅A为BIBI2;2hx同时可得BIA2(3.14)极限环从极限环外趋近极限环从极限环内趋近极限环图3.10下面来研究极限环的稳定性。由(3.12)、(3.13)可得函数关系)]([xhTTxx(3.15)2222()()()()2||||()1||||()2TTTAAATTxxABxAAAABIxxAABABIxxhhxxxxhxxx有即(3.16)（3.16）式意味着，在极限环邻近的相点，每运动一周将向极限环靠近一点，随着运动的进行，相点将逐渐进入极限环，因此极限环是稳定的。（3.15）式的含义是：相点从x=x出发运动一周，将到达x=xT点，参见图3.10。因为x=A时，有xT=A、h=A，因此，当0Axxx，时2.干摩擦自振当干摩擦振子与摩擦面有恒速相对运动时，振子会出现自激振动，图3.11为力学模型。图3.11以往将干摩擦力简化为常值，对于本问题，为了能解释实际中出现的自激振动，需要对摩擦力的模型作一些细化，如图3.12，其中的摩擦力j随速度v有小的变化。不失一般性，设系统的质量和刚度等于1。图3.12jmjm则系统的动力学方程为系统的平衡位置为)(0,000vjxxx0)(0xxjxv(3.17)00,0,||(0)sgn(),0,||mmmvvxxxjjjxxxj其中v0为摩擦面的运动速度，设为常值。当时，摩擦力j(0)的值不定，需要根据不同情况确定，具体如下：00vx(3.18)0)()()()(0)()(0000xxxvvxxvxvxxjjjj方程变为令(3.21)将平衡位置变换到新坐标的原点。方程（3.17)变为(3.19)(3.20)引入变换00()xvxxxj相平面微分方程为(3.24)(y)曲线如图3.13。其中图3.13minmaxv0)()(0min0maxvvmmjjjj(3.23)根据式(3.20)、(3.18)、(3.19)和(3.23)，(v0)的取值为0maxmin0max0maxmin0min,,(),,,,xyvxvyvxyvxyxydxdy)((3.22)于是，相平面微分方程变为yxx。其中0maxminmax0max0minmin0(),0;,;;dyyxyvdxydyxdxxdyyvxdxvxdyxdxv当当(3.25)(3.26)方程（3.25）决定了几乎整个相平面上的相轨迹分布；方程（3.26）决定了直线y=v0上的相轨迹或直线y=v0附近的相轨迹的走向。与方程（3.25）对应的相轨迹方程（能量积分）为00202022),)((2vyxxyxyxy(3.27)因为上式右端第二项的值近似为零（参见图3.13），即000max0()()0,[()]()0yvyvyxxyxx00max0max20202200202022),]()([2)(2),)((2vyxxyxxxyxyvyxxyxyxy于是方程（3.28）为两个圆方程上叠加一个摄动项，摄动项将决定相轨迹是向圆内收缩、向圆外发散或在圆周附近振荡。3.26）决定了相点到达y=v0这条直线上以后的相轨