微积分PowerPoint 演示文稿 (5)

第五节极限的运算法则本节通过无穷小的运算性质来讨论函数极限的运算法本节要点一、无穷小与无穷大二、极限的运算法则则,数列极限的运算法则可以平行地得到.主要内容一、无穷小与无穷大1.无穷小注无穷小是一个以0为极限的变量,而不能把它视为定义如果时变量的极限为0xxxxx0xxx零,那么就叫做时的无穷小.一个很小的常量.例如,因为1lim10,xx因此我们说函数1x是1x时的无穷小.而不能简单地说1x是无穷小.同样由于1limsin0,xx所以1sinx是x时的无穷小.定理1引理在自变量的某一变化过程中,函数有极限fx的充分必要条件是其中是无穷小.A,fxA证⑴设是的无穷小,今证是无穷,0xx00lim0,lim0,xxxx因0,⑵有界函数与无穷小之积是无穷小.小.故对任意存在10,⑴有限个无穷小之和是无穷小;当,同理存在01(,),oxUx20,02(,),oxUx.212min,,当时有0(,)oxUx有0lim()0xx所以0,⑵设是的无穷小,是有界量,即0xxux0,M01(,)oxUx,uM当时有又因是无穷小,所以对任有,2当取意存在20,当有02(,),oxUx,M取当时有12min,,0(,)oxUx,uu推论⑴常数与无穷小之积是无穷小；0lim0.xxu即⑵有限个无穷小之积是无穷小.例1求极限01limsin.xxx解因1sin10,xx0lim0,xx01limsin0.xxx下图是函数的图形,从图中可以看出,当时,0x对应的函数值虽然交替地取正负值但是却无限接近于0.故由定理1得又1sinyxxyxO-0.1-0.050.050.1X-0.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.0750.1Y1sinyxx2.无穷大(),fxM0lim()xxfx（或）.lim()xfx定义如果对任意给定的正数总存在正数（或正,M）时,对应的函数值满足不等式xXfx则称为时的无穷大,fx0xxxX00xx数）,使得对定义域中的满足（或记为值得注意的是,记号0lim()xxfx并不是表示极限存在,而是表示函数当0lim()xxfx注函数当为0xxfxyfxMxyO0x0xx函数有一个比较明确的变化趋势.无穷大的几何意义.例2证明001lim.xxxx01(),fxMxx即01,xxM01(),fxMxx证对任意的0,M故取当时,有1,M00xx要使即001lim.xxxx注意无穷大与无界函数的差别.例3试说明函数当11()sinfxxx解取1,2ππ/2nxn则π2π,2nfxn所以是无界函数但不是无穷大.fx1,2πnyn但不是无穷大.0,nfy0x是无界函数Oxy11sinyxx0.20.40.60.81-4-2246811sinfxxx11sinfxxx0.020.040.060.080.1-150-100-505010015011sinfxxx0.020.040.060.080.1-400-20020040011sinfxxx3.无穷小与无穷大的关系证仅证⑴.定理在自变量同一过程中,0lim(),xxfx1,M设则任取令由无穷大0,1()fx⑵若是无穷小,且则是无穷大.fx0,fx1()fxfx⑴若是无穷大,则是无穷小;0,00xx的定义,存在当时,有1()fx即01lim0.()xxfx所以是无穷小.1()fx1,()fx二、极限的运算法则定理2设lim(),lim(),xxfxAgxB⑴lim()()lim()lim();xxxfxgxABfxgx⑵lim()()lim()lim().xxxfxgxABfxgx为了便于表述,我们用记号表示自变量lim()xfx00,0xxxxxx等的变化过程.证因由引理得lim(),lim(),xxfxAgxB(),(),fxAgxB⑴()()fxgxABlim()()lim.()lim()xxxfxfxAgxBgx⑶若则有0,B其中是无穷小,则,由定理1,知为无穷小,所以,ABABlim()().xfxgxAB⑵()(),fxgxABABAB由定理1知,变量,AB为无穷小,故lim()().xfxgxAB⑶为证⑶,仅需证明11lim.()xgxB1111,()gxBBBBB因0lim0,xx当有01(,)oxUx今以时的情形加以证明.0xx因则存在的某个邻域,使得在该邻域内有0,B0x0.gx又因其中为无穷小,所以,gxB,2B故存在01(,),oUx即,2BB故,22,BBB即为无穷小,从而11()gxB11lim.()xgxB由⑵得()lim.()xfxAgxBlim()().xfxgxAB更一般,若则lim(),1,2,,,iixfxAin1122lim()()()nnxkfxkfxkfx推论若是常数,则lim(),lim(),xxfxAgxB,1122.nnkAkAkA例3证明:若在内,且0(,)oUx()(),fxgx00lim(),lim(),xxxxfxagxb则.ab证令则当时,有()()(),Fxfxgx0(,)oxUx()0,Fx由极限的保号性及极限的运算法则,得0lim()0,xxFx从而有.ab例4求下列极限⑴22lim243;xxx⑵2121lim.3xxxx解⑴22lim243xxx22222lim4lim3lim1xxxxx2222lim2lim4lim3xxxxx222423113.⑵因所以12211lim21213lim.35lim3xxxxxxxxx21lim350,xxx更一般的,我们有如下的计算公式.1011(),nnnnfxaxaxaxa则0lim()xxfx010110lim().nnnnxxaxaxaxafx若若10111011()(),()mmmmmnnnnnaxaxaxaPxfxbxbxbxbPx且则0()0,nPx000()lim()lim().()mxxxxnPxfxfxPx例5求极限32322321lim.323xxxxxxx32322321lim323xxxxxxx23231112322lim.1113323xxxxxxx解分子分母均除以得3,x例6求极限2321lim.221xxxxxx2321lim221xxxxxx解分子分母均除以,得3x2323111lim0.111122xxxxxxx例7求极限4232321lim.324xxxxxx解考虑极限3242324lim,321xxxxxx同例6,得该极限为0,故原式的极限4232321lim.324xxxxxx对上面几个例子的分析,得到有理函数10111011()limlim()mmmmmnnxxnnnPxaxaxaxaPxbxbxbxb00,anmb0,mn.mnfxx时的极限公式:当基本方法:除以最高次幂.例8求极限2sinlim.32arctanxxxxx解因2sin/2sin,32arctan32arctan/xxxxxxxx且sinarctanlim0,lim0.xxxxxx所以2sin2lim.32arctan3xxxxx00lim[()]lim().xxuufuxfuA定理3（复合函数的极限运算法则）设0lim(),uufuA[()]fux但在点的某去心领域内则复合函数0(),uxu0x证因故当0lim(),uufuA00||uu0,0,00lim(),xxuxu又因故对上面的当,10,又设函数当时的极限存在且等于uux0xx0,u0xx当时的极限存在,且()fuA时,有成立;010||xx0()uxu时,有成立,又由已知条件,设在内取02(,)oUx0(),uxu(),fuxA此即说明00lim[()]lim().xxuufuxfuA12min{,},00xx00(),uxu则当时,有从而有该定理的几何意义又是如何呢？0u0u0uAAAyux0x0x0x例9求极限2lim23.xx解令则函数23,(),uxfuu(),()fuuux满足定理的条件,由此得到2lim237.xx例9给出了求这类极限的一般方法:即若(),nfxPx在定义域中,则有0x00lim.xxfxfx例10求22lim.2xxx解22lim2xxx222lim22.2xxxx222lim22xxxxx例11求2413lim.22xxx解2413lim22xxx242228lim.32413xxxxx241341322lim2422413xxxxxxx例12求22lim22.xxxxx解22lim22xxxxx2222lim2xxxxx2212/lim1.12/1xxx