圆的基本性质复习课

圆的基本性质复习课主要内容：（一）圆的定义（二）圆的周对称性（三）圆心角（四）圆周角（五）弧长及扇形的面积（六）圆锥的侧面积和全面积线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆。定点O叫做圆心。线段OP叫做圆的半径。在同一平面内，要确定一个圆,必须确定圆的____和____圆心半径⊙O圆O圆心确定圆的,半径确定圆的.位置大小表示：以O为圆心的圆，记做“”，读作（一）圆的定义：思考什么情况下两个圆能够完全重合？O1rO2r半径相等的两个圆叫做等圆。半径相等的情况下两圆能够完全重合ABCDMN圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦CD)概念明晰直径是最长的弦BAC点A、B、C与圆的位置如图所示，设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则d和r的大小关系为：d＝rd＞rd＜r点与圆的位置关系O点A在圆上点B在圆内点C在圆外r在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD,然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?结论1：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。强调：判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴;（2）圆的对称轴有无数条．OCD(二)圆的轴对称性在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧,那么在下图中,哪些圆弧相等?ABE②AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒OCD得出结论：①EA=EB；理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？请用命题的形式表述你的结论.证明:连接OA、OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言叙述:∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒结论2：ABOCDE条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧AB结论分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.EDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC归纳：1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；．OABCrd22.2ABrd弦长2．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：圆心角所对的弧为AB，AOB过点O作弦AB的垂线,垂足为M,OABM顶点在圆心的角,叫圆心角，如,AOB所对的弦为AB；图1OM是唯一的。则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距,图1中，OM为AB弦的弦心距。（三）圆心角任意给圆心角，对应出现四个量：圆心角弧弦弦心距圆心角弧之间的关系弦弦心距课题猜想：?,BOAAOB.2情况又如何若图2也就是在图2中研究不同的圆心角、，以及它们所对的弧,弦,弦的弦心距OM、之间的关系。BOABAAB、AOBMOBAAB、.MOOM,BAABBAAB,BOAAOB1.，则若???圆的旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角α，都能够与原来的圆重合。注：α=180O旋转，说明圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。图31.射线OB与射线OB'重合吗?为什么?2.点A与A'，点B与B'重合吗？为什么？4.OM与OM'呢？为什么？于是，若∠AOB=∠A'OB'，则AB=A'B',AB=A'B',OM=OM'.3.AB与A'B',弦AB与弦A'B'重合吗？为什么？将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与射线OA'重合,则：图4如图，⊙O和⊙O'是等圆，如果∠AOB=∠A'O'B'那么AB=A'B'、AB=A'B'、OM=O'M',为什么？???圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。已知：如图5,∠AOB=∠A'OB',OM、OM'分别是弦AB、弦A'B'的弦心距.求证：AB=A'B',AB=A'B',OM=OM'证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与射线OA'重合.又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′图5BAAB,BAABBB,AABOOB,AOOABOOB重合与合重与重合与BOAAOB∵∵另外，对于等圆的情况，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，命题成立。在同圆或等圆中如果弦相等那么弦所对的圆心角相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果弦心距相等那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等推论：(圆心角定理的逆定理)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理•在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.●OABDA′B′D′┏●OABD●O′A′B′D′┏由条件:①∠AOB=∠A′O′B′②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出推论•在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OABDA′B′D′┏●OABD●O′A′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′.OBCA特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.（四）圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。ABCO圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（五）弧长及扇形面积：在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：1802360rnrnl在应用弧长公式l进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；也可以理解为n和180中的度约去！180Rn注意：180Rnl1、在公式中变量有哪些？常量是哪些？2、那么在3个变量l、R、n中，只要已知其中两个量就可以求第三个量，那么请将公式变形求出R和n。Rln180nlR1802.弧长公式：l弧＝C圆360n1.弧长与哪些因素有关？（1）与圆心角的大小有关（2）与半径的长短有关3.弧长单位：弧长单位没有平方的180Rnl如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。圆心角圆心角弧ABOBA扇形扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角的增大而增大。在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为360Rn2扇形Snl弧＝πR180nS扇形360n＝πR2lR21在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°、半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗?在两个公式中，存在l、R、n、S四个量，我们只要知道其中两个就可以求得其它两个。圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体侧面斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面母线无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面（六）圆锥的侧面积和全面积如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,那么,这个扇形的半径(R)为____,扇形的弧长(L)为,因此圆锥的侧面积(S侧)为____________________________..圆锥的母线l•圆锥的侧面展开图是什么图形?根据扇形与圆锥之间的关系填空:是一个扇形.圆锥底面的周长lR圆锥的母线与底面周长积的一半.221lrS侧=∏rl•圆锥的全面积=侧面积+底面积•=∏rl+∏r2ABC想一想：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900。(1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗?(2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？(3)若AB=5，BC=4，你能求出题(2)中几何体的表面积和全面积吗？