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2015年山东省淄博市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．B．C．D．2．设P={y|y=﹣x2+1，x∈R}，Q={y|y=2x，x∈R}，则（）A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP3．设命题，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知随机变量ξ～N（0，σ2），若P（ξ＞3）=0.023，则P（﹣3≤ξ≤3）=（）A．0.477B．0.628C．0.954D．0.9775．已知不共线向量，，||=||=|﹣|，则+与的夹角是（）A．B．C．D．6．设函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a≠0）在x=处取得最小值，则函数是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．D．3π9．若a，b∈（0，2），则函数f（x）=ax3+2x2+4bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．10．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F做与x轴垂直的直线交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ，λμ=（λ，μ∈R），则双曲线的离心率e是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若x，y都是锐角，且sinx=，tany=，则x+y=．12．二项式的展开式中常数项为．13．已知a＞0，b＞0，方程为x2+y2﹣4x+2y=0的曲线关于直线ax﹣by﹣1=0对称，则的最小值为．14．已知抛物线y2=4x上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离是．15．已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2…ak为正整数的k（k∈N*）叫做“易整数”．则在内所有“易整数”的和为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量==sinx+cosx，2sinx}），且满足f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a=2，f（）=2，求△ABC面积的最大值．17．如图1，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=2，BC=3，EF∥AB，且AE=1，M，N分别是FC，CD的中点．将梯形ABCD沿EF折起，使得BC=，连接AD，BC，AC得到（图2）所示几何体．（Ⅰ）证明：AF∥平面BMN；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．18．已知函数f（x）=logmx（m＞0且m≠1），点（an，2n）在函数f（x）的图象上．（Ⅰ）若bn=an•f（an），当m=时，求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅱ）设cn=，若数列{cn}是单调递增数列，求实数m的取值范围．19．某商场组织购物抽奖活动，现场准备了两个装有6个球的箱子，小球除颜色外完全相同，A箱中放有3个红球、2个白球、1个黄球，B箱中放有红球、白球和黄球各2个，顾客购物一次可分别从A、B两箱中任取（有放回）一球，当两球同色即中奖，若取出两个黄球得3分，取出两个白球得2分，取出两个红球得1分，当两球异色时未中奖得0分，商场根据顾客所得分数多少给予不同奖励．（Ⅰ）求某顾客购物一次中奖的概率；（Ⅱ）某顾客先后2次参与购物抽奖，其得分之和为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．20．如图，F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上的点到F1点距离的最大值为5，离心率为，A，B是椭圆C上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若=2，求直线AF1的方程；（Ⅲ）设AF2与BF1的交点为P，求证：|PF1|+|PF2|是定值．21．已知函数f（x）=aex﹣be﹣x﹣2x（a，b∈R）的导函数f'（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率0（其中e=2.71828…）（1）求a，b的值；（2）设g（x）=f（2x）﹣4mf（x），若g（x）有极值．（i）求m的取值范围；（ii）试比较em﹣1与me﹣1的大小并证明你的结论．2015年山东省淄博市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z（1+i）=1，∴==，∴=．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．设P={y|y=﹣x2+1，x∈R}，Q={y|y=2x，x∈R}，则（）A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：根据集合的定义分别求出集合P和Q，再根据子集的定义和补集的定义对A、B、C、D四个选项进行一一验证；解答：解：∵P={y|y=﹣x2+1，x∈R}，Q={y|y=2x，x∈R}，∴P={y|y≤1}，Q={y}y＞0}，∴P与Q不存在子集的关系，∴A、B错误；CRP={y|y＞1}，Q={y}y＞0}，∴CRP⊆Q故选C．点评：本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．3．设命题，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法；绝对值不等式．专题：计算题．分析：根据所给的两个命题，对不等式进行求解集，写出两个命题对应的集合，看出两个集合之间的包含关系，得到两个条件之间的关系．解答：解：∵p：|2x﹣3|＜1，∴p：A{x|1＜x＜2}∵∴（x﹣1）（x﹣2）≤0，且x≠2，∴B={x|1≤x＜2}∵A⊆B∴p是q的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查不等式的求解和必要条件、充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是把命题之间的关系转化为集合之间的包含关系，本题是一个中档题目，注意题目的转化．4．已知随机变量ξ～N（0，σ2），若P（ξ＞3）=0.023，则P（﹣3≤ξ≤3）=（）A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：画出正态分布N（0，σ2）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．解答：解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（ξ＞3）=0.023，则P（ξ＜﹣3）=0.023，故P（﹣3≤ξ≤3）=1﹣P（ξ＞3）﹣p（ξ＜﹣3）=0.954，故选：C．点评：本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．5．已知不共线向量，，||=||=|﹣|，则+与的夹角是（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的三角形法则，结合向量的几何意义，画图即可得到答案．解答：解：如图，∵不共线向量，满足||=||=|﹣|，∴以为邻边的平行四边形为菱形且∠BAC=，则+与的夹角为∠BAD=．故选：B．点评：本题主要考查向量的夹角的求解，利用向量加减法的几何意义求解是解决该题的关键，是基础题．6．设函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象解答：解：∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0则k=1又∵f（x）=a﹣x﹣kax（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选：C．点评：若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键7．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a≠0）在x=处取得最小值，则函数是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称考点：正弦函数的对称性；正弦函数的奇偶性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得f（）=a+b=﹣，求得a=b，由此化简函数的解析式为a•sinx，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a≠0）在x=处取得最小值，∴f（）=a+b=﹣，∴（a2+b2+2ab）=a2+b2，∴（a﹣b）2=0，a=b．函数=asin（﹣x）+bcos（﹣x）=a（cosx+sinx）+a（﹣cosx+sinx）=a•sinx，故g（x）是奇函数，且函数的图象关于点点（π，0）对称，故选：D．点评：本题主要考查三角函数的图象的对称性，正弦函数的图象特征，属于基础题．8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．D．3π考点：球内接多面体；简单空间图形的三视图；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图可知该几何体为一个四棱锥，从一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可将该四棱锥补成正方体，再去求解．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．所以体积V==故选B．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，转化能力，将四棱锥补成正方体是关键．9．若a，b∈（0，2），则函数f（x）=ax3+2x2+4bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的极值；几何概型．专题：导数的概念及应用；概率与统计．分析：利用导数求得函数有极值的条件，进而转化为几何概型求得概率．解答：解：f'（x）=ax2+4x+4b因为函数f（x）存在极值，所以f'（x）=0有解则△=16﹣16ab≥0，即ab≤1．令ab=1，b=，当b=2，a=，当a=2，b=，∴=lna﹣1﹣ln+=2ln2﹣三块小矩形的面积为，∴S=2ln2+1，∴，故选A点评：主要考查函数有极值的条件和利用几何概型解题的方法．在高考中属常考题型．10．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F做与x轴垂直的直线交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ，λμ=（λ，μ∈R），则双曲线的离心率e是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的