高等代数第四章及其习题答案

第四章部分习题提示与解答120,0naaAa,,,1,2,,.ijaaijijn5、已知其中，当An,nnBijb考虑与能交换的任意阶矩阵一方面,nnABijiab.nnBAijjabBAAB,iijijjabba()0,,1,2,,.ijijaabijn另一方面由有即ijijaa0,,,1,2,,.ijbijijnB当时，因，故从而为对角阵．６、本题为第5题的推广11220000,00rraEaEAaE其中已知,ijaa,,1,2,,.ijijriEin1.riinn当为级单位阵，A.nnBijbBA1112112,rrrrrBBBBBBB考虑能与进行交换的任意矩阵对按的形式进行分块有ijBijnn其中为矩阵.一方面，1111121112(),riijrrrrrrraBaBaBABaBaBaBaB11121211122(),rrjijrrrrraBaBaBBAaBaBaBaBABBA,iijjijaBaB另一方面，由有()0,,1,2,,.ijijaabijrij0,ijB即于是当时，110,0rrBBB,iiiBA10.0rABA从而记则0000010000ijEij7、已知为第行列元素为1，其余元素为0的矩阵.11,ijnnnnAAaBBA其中,ijAB分别为A的第i行行向量，第j列列向量000,,0,1,0,,000ijjjEi行,，000,,0,,0,,0,100TTijiiEi行.j列j列1110,,0,,0,,0000000,,.1000000TTijiijnjjnjjnAEAAAaaiaa行111200,,0,,0,1,0,,0000000000.0000iijnijjniiiniaAEBBBaaaaijijEAAE11,1,1,11,000000000,00000000iiiijijjjjiijjjjjniiniaaAEEAaaaaaaaa由有0,1,,1,1,,,kiakiin0,1,,1,1,,,jkakjjn.iijjaa于是即证明2），1）为2）的特例.,1,1,1,,,nnnijijijijijijijnnijijijBkEbABkAEBAbEA,ABBAijb,,1,,.ijijAEEAijn3）因又故由的任意性有再由2）知,,1,,.iijjaaijn0,1,,1,1,,,kiakiin0,1,,1,1,,,jkakjjn1122110010001,0001nnaaAaaAnA(,1,,)ijEijn.ijijAEEA即为数量矩阵.与所有级矩阵可交换，故一定与可交换，于是注：因A20AijnnAan1,,Tnxxxn2()0.TTTTAxAxxAAxxAx,yAx10、已知为实对称矩阵,且,不妨设为阶矩阵，为任意量，则记维列向yny1,,,nyy1,niijjjyax则为维的列向量，设的分量为即且1,,.Tnyyy于是1211(),,0,nTTniinyAxAxyyyyyy0,1,,iyin0yAxx0,1,,jAjn00100jj行,12(,,,)0,nA0nAE0.A从而,即，由的任意性知，其中从而即，即21,0,1,2,,,,1,2,,.nkkiijijisxkasijn2211()(()).ijijijijnijnaxxxx1211112111().nijijnnnnxxxxxxxx13、已知要证而11111().1nijijnnnxxxxxx1211112111,nnnnnxxxBxxx11111,1nTnnnxxBxx2221,,nTijijijijllBBassx22().TijijijaBBBxx范德蒙行列式记则而于是14、0B12(,,,)nBBBBjB(0)jB．只须注意到，则至少存在的一列向量（例如）非零12(,,,)0nABBB0jAB0Ax0A．而由有，即方程组有非零解，从而0A0Ax0x，0(0,0,,)Bx，0AB．反之，意味着有非零解，令显然不妨设为nA0Axn1nxxxx,1,,iin，0,1,,iAin，0nAE，0A．15、已知阶矩阵满足（对任一维向量），故可取为单位列向量于是从而即25、1）设,ijijnnnnAaBb为两个上三角形矩阵，则1,,nijijikkjnnkABccab且0(),0().ikkjaikbkjij11110()jnnijikkjikkjikkjkkjkjikkjkcababababijkAB证法一：当时，故为上三角形矩阵．,AB111111,,00abABAB证法二：对进行分块：其中，,2,212112111,,,,,,,nnijijnnijijaabbAaBb．11AB、1n显然为上三角形矩阵（级）．下面用归纳法来证明2n1112111211111112122222222222000aabbabababABabab，当时，结论成立．1nn设当级数为时结论成立，下证当级数为时结论111111111111111000ababaBABABAB，11ABAB由归纳法假设知为上三角形矩阵，故为上三成立。角形矩阵。ijnnAa,21112111,,,,0nijnijaAaaAaA．2）设为一可逆的上三角形矩阵，则1111110apAA11111pAa．m令，则有对级数用归纳法。2m1121111121112222122,00aaaaaaAAaa，当时，结论成立．1mnmn111111111110aAaAA设当时结论成立．11A1n11A其中，为级可逆上三角形，则由归纳法假设知为可逆上三角形阵，于是结论成立。对BrrCrn()Cr16、已知为矩阵，为矩阵，秩0,BC0.B,BCC.BE1）若则2）若则()0BCCBEC(),Cr证：显然2）可化为1）的情形，事实上，对1），因秩故C的行向量组线性无关，1,,nCC1(,,)nCCC．设的列向量组为，即CC1,,rCCrr1(,,)rCCC111(,,,,)(,,,)(,,,)0rnrnrnBCBCCCBCCCBCBCBC0BC0C0B．取的列向量组中极大组（不妨设为组成一个矩阵，则由已知故，又，从而）0mmmnnnEEBEBpEAEAppBEpA29、证明：取，则00mmmnnnEEBEBAEAEEAB00mmmnnnEEBEBAEAEEABmnnEBEABAE00mmmnnnEBEEBABAEAEE，mmnEBEBAAE．类似地，30、证明：=01()nnnnmnnmmmAAEABEBEBEBAEBA．An()1A121,,,nnaAbbAkAa．补充习题1：为阶矩阵，秩，要证已知()1AA1,,TnAAA证明：因秩，则的任两行成比例，从而对有11,1,2,3,,,1,iiAkAink故1212111,nnAkAkAAkAk11,,,,1,,,niiAbbakin11,,.nnaAbba记则112111111,,,,,,.nnnnniininniiiaaAbbbbaaababbabaA()C()A()B(,).CAB有关矩阵的秩的习题秩秩，其中1、证明秩()Ar(),BsA1,,,rAAB证明：设秩，秩则可由其列向量组的极大组线性表出，不妨设此极大的所有列向量均可由其列向量组的所有列向量组为的极大组线性表出，不妨设此极大组为1,,,sBB(,)CAB11,,,,,rsAABB于是的所有列向量均可由()C11(,,,,,),rsAABBrs()C()A()B．线性表出，从而秩秩即秩秩秩()AB()A()B．2、（书17题）证明秩秩秩(,)CABC证法一：令，则对施加列的初等变换：BA(,):CABBD把的列逐一加到相应的的列上去，可得：()D()C()A()B．于是秩秩秩秩ABD()AB()D()A()B．但为的部分列，故秩秩秩秩11(,,),(,,),nnAAABBB证法二：设,iiABABi这里分别为与第列的列向量.(),Ar().Bs1,,iirAA1,,nAA记秩秩设为的极大组，1,,iisBB1,,nBB为列向量组的极大组，(1,,)jkjr(1,,)jljs存在不全为零的常数及不全为零使得于是的常数11,,1,,jjrsijiijijjAkABlBin从而11,1,,,jjrsiijijijjABkAlBinAB11,,,,,iiriisAABB即的所有列向量可由线性表出，()AB11(,,,,,).iiriisAABBrs于是秩秩,ABnn0,AB3、（书18题）设为矩阵，证明：如果()A().Bn则秩秩0AB1(,,)nBBB(1,,)jBjn证明：因，故的列向量0Ax0Ax为方程组的解向量。于是由n()A()Bn(),A的基础秩知秩秩解系的秩为()A()Bn即秩秩,1,2,,,jBjn0Ax（因均可由的基础解系线性表出）.Ann(2),n4、（书27题）证明：如果为阵则,(),()1,()1,0,()1.nAnAAnAn当秩当秩当秩秩nAAAE()An0,A0,A证明：因，故当秩时从而A().An即可逆，且秩()1AnA0,A0,AA当秩时，显然奇异，于是则由书18题知秩()A(),An秩()An()(1)1.Ann从而秩秩()1AnA1n0,A()1.A又由秩知，存在一个级子式不为0，从而故()1An132PA1n当秩时，由定理6知的所有级子式全为0，AijAAija而的元素为的元素的代数余子式