2014年高考高三理科选修4-5不等式选讲选修4-5-2

选修4－5－2不等式的证明考纲点击了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法.说基础课前预习读教材考点梳理1.比较法(1)作差比较法①理论依据：a＞b⇔①__________＞0；a＜b⇔②__________；a＝b⇔③__________.②证明步骤：作差→④__________→⑤__________→得出结论．(2)作商比较法①理论依据：b＞0，ab＞1⇒⑥__________；b＜0，ab＞1⇒⑦__________.②证明步骤：作商→⑧__________→⑨________________→得出结论．2．综合法(1)一般地，从⑩__________出发，利用⑪__________、⑫__________、⑬__________、⑭__________等，经过一系列的⑮__________、⑯__________而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫⑰__________或⑱__________.(2)使用综合法证明不等式应注意对基本不等式或已证不等式的使用，常用的不等式有：①a2≥0；②|a|≥0；③a2＋b2≥2ab；④a＋b2≥ab(a，b＞0)等．3．分析法证明命题时，从⑲__________出发，逐步寻求使它成立的⑳__________，直至所寻求的条件成为一个○21__________或○22____________________(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种○23__________的思考和证明方法．4．反证法(1)假设○24________________，以此为出发点，结合已知条件，应用○25______________等，进行正确的推理，得到和○26__________(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明○27__________，我们把它称为反证法．(2)证明步骤：反设→○28__________→肯定原结论．5．放缩法(1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值○29__________或○30__________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．(2)理论依据a＞b，b＞c⇒a＞c.答案：①a－b②a－b＜0③a－b＝0④变形⑤判断符号⑥a＞b⑦a＜b⑧变形⑨判断与1的大小关系⑩已知条件⑪定义⑫公理⑬定理⑭性质⑮推理⑯论证⑰顺推证法⑱由因导果法⑲要证的结论⑳充分条件○21已知条件○22一个明显成立的事实○23执果索因○24要证的命题不成立○25公理、定义、定理、性质○26命题的条件○27原命题成立○28归谬○29放大○30缩小考点自测1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是()A．s≥tB．s＞tC．s≤tD．s＜t答案：A2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|＞1成立的一个充分不必要条件是()A．|a＋b|≥1B．|a|≥12且|b|≥12C．b＜－1D．a≥1答案：C3．P＝xx＋1＋yy＋1＋zz＋1(x＞0，y＞0，z＞0)与3的大小关系是()A．P≥3B．P＝3C．P＜3D．P＞3答案：C4．已知|a＋b|＜－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是__________(注：把成立的不等式序号都填上)答案：①②④说考点拓展延伸串知识疑点清源1.当被证明的不等式的两端是多项式、分式或对数式时，常采用作差比较法证明．作差比较法证明不等式的一般步骤：①作差：将不等式左右两边的式子看作整体进行作差．②变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个数(式)的平方和等．③判号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差正负号．④结论：肯定不等式成立的结论．2．当被证明不等式(或变形后的不等式)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法．作商比较法证明不等式的一般步骤：①作商：将不等式左右两边的式子进行作商．②变形：化简商式到最简形式．③判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1或等于1.④结论．3．分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．4．利用综合法证明不等式一般有两种途径：①从分析法找思路；②从“重要不等式”，特别是均值不等式找思路．用综合法证明不等式的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B.综合法的思维特点是：由因导果．5．反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为(1)反设：假定所要证的结论不成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)6．适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．7．用放缩法证明不等式的基本方法是：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间变量，使得B≤B1，B1≤B2，…，Bi≤A，或A≥A1，A1≥A2，…，Ai≥B，再利用传递性，达到目的．8．放缩法的常用技巧：(1)舍去一些正项或负项如a2＋a＋1＝a＋122＋34＞a＋122等；(2)在和或积中换大(或换小)某些项；(3)扩大(或缩小)分式的分子或分母，如ab＜a＋mb＋m(a，b，m∈R＋且a＞b)，1k2＜1kk－1，1k＜2k＋k＋1等；(4)绝对值不等式的性质，如|a＋b|≤|a|＋|b|等.题型探究题型一用比较法证明不等式例1.设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]＞0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．点评：①作差比较法证明不等式的一般步骤：作差、变形、判断符号、得出结论．②变形整理是关键，变形目的是为了判断差的符号．变式探究1求证：当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)a＋b2.证明：aabbaba＋b2＝aa－b2bb－a2＝aba－b2，当a＝b时，aba－b2＝1.当a＞b＞0时，ab＞1，a－b2＞0，则aba－b2＞1.当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b2＜0，则aba－b2＞1.综上可知，当a、b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)a＋b2成立.题型二用分析法或综合法证明不等式例2.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．解析：方法一：因为a，b，c均为正数，所以a2＋b2＋c2≥3(abc)23①1a＋1b＋1c≥3(abc)－13，②所以1a＋1b＋1c2≥9(abc)－23.故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥3(abc)23＋9(abc)－23.又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)23＝9(abc)－23时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝314时，原式等号成立．方法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1ac＋1bc②故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥ab＋bc＋ac＋3·1ab＋3·1bc＋3·1ac≥63.③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝314时，原式等号成立．点评：综合法是由因导果，要求学生要有较强的观察与变形的能力．分析法是执果索因，利于思考，但是表述格式要求严谨，二者各有所短，相互补充．凡是能用分析法证明的不等式，一定可以用综合法证明．变式探究2(2013·江苏模拟)已知a＞0，b＞0，c＞0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3.证明：要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c＞0只需证(a＋b＋c)2≥3，即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故只需证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca①又ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，∴①式显然成立，即原不等式成立.题型三用反证法证明不等式例3.已知f(x)＝x2＋px＋q，(1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12.证明：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于12，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2，而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)|＝|(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)|＝2，出现矛盾．∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12.点评：①直接由条件推出结论很困难时，常用反证法．②从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论时，常从反面进行证明．变式探究3若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，当f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)时，试证明a＋b≥0.证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，两式相加得f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故a＋b≥0.归纳总结•方法与技巧用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须是明显的．•失误与防范(1)用分析法证明不等式一定要注意格式规范．(2)运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当.新题速递1.(2013·锦州模拟)设a∈R且a≠－2，试比较22＋a和2－a的大小．解析：22＋a－(2－a)＝a22＋a，当a＞－2且a≠0时，∵a22＋a＞0，∴22＋a＞2－a.当a＜－2时，∵a22＋a＜0，∴22＋a＜2－a.当a＝0时，22＋a＝2－a.综上有：当a＞－2且a≠0时，22＋a＞2－a，当a＜－2时，22＋a＜2－a，当a＝0时，22＋a＝2－a.2．(2013·鸡西模拟)已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a＋b2－aba＋b＋c3－3abc≤