均值不等式

1学校：年级：高二教学课题：均值不等式学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学目标掌握均值不等式的基本运用教学内容一．均值不等式1.（1）若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）（3）3333(0,0,0)abcabcabc（当且仅当abc时取到等号）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“=”）(3)若三个正数a、b、c、则33abcabc()abcR、、（当且仅当abc时取到等号）.3.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“=”）4.若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“=”）5.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）二、几个著名不等式①平均不等式：2211222abababab，,abR（，当且仅当ab时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）2变形公式：222;22ababab222().2abab②幂平均不等式：222212121...(...).nnaaaaaan③二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,,,).xyxyR绝对值三角不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).abcdacbdabcdR当且仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().aaabbbababab⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)nnaaabbb21122(...).nnababab⑦向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设④222abcabbccaabR，（当且仅当abc时取到等号）1212...,...nnaaabbb为两组实数.12,,...,nccc是12,,...,nbbb的任一排列，则12111122......nnnnnabababacacac1122....nnababab（反序和乱序和顺序和），当且仅当12...naaa或12...nbbb时，反序和等于顺序和.注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．3知识点一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：(2)12,33yxxx。变式练习：已知54x，求函数14245yxx的最大值12sin,(0,)sinyxxx。技巧二：凑系数例1.当时，求(82)yxx的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。4评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式练习：1、设230x，求函数)23(4xxy的最大值。并求此时x的值2．已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3．203x，求函数(23)yxx的最大值.技巧三：分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。5技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()AymgxBABgx，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。变式练习(1)231,(0)xxyxx技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。6条件求最值1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：2：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.7技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。点评：①本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b2≤a2＋b22，本题很简单3x＋2y≤2（3x）2＋（2y）2＝23x＋2y＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。8W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤20＝25变式:求函数152152()22yxxx的最大值。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应：知识点二：利用均值不等式证明不等式例：已知a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc变式：1．已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba2222、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc9知识点三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xykxy191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky10312kk。16k，,16m1：添加项【例1】已知23x，求322xxy的最小值.2:配系数【例2】已知230x，求)23(xxy的最大值.3:分拆项【例3】已知2x，求2632xxxy的最小值.104:巧用”1”代换【例4】已知正数yx,满足12yx,求yx21的最小值..【例5】已知正数zyx,,满足1zyx，求zyx941的最小值.5:换元【例6】已知cba,求cbcabacaw的最小值.【例7】已知1x,求8512xxxy的最大值.7:直接运用化为其它【例9】已知正数ba,满足3baab,求ab的取值范围.111、（1）、已知0x，0y，满足21xy，求11xy的最值；（2）、若0x，0y，且281xy，求xy的最值；（3）、若-4＜x＜1,求22222xxx的最大值.2、函数f(x)=242xx(x≠0)的最大值是；此时的x值为_______________．3、（2010山东理）若对任意0x＞，231xaxx恒成立，则a的取值范围是．4、若点(2,1)A在直线10mxny上，其中0mn,则nm21的最小值为.5、（1）、已知x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为.（2）、若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.6、已知两个正数,ab满足4ab，求使28mab恒成立的m的范围.7．函数y=loga(x+3)－1(a0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，求nm11的最小值为。128．(2010年合肥模拟)已知x1·x2·…·x2009·x2010＝1，且x1，x2，…，x2009，x2010都是正数，则()1＋x1()1＋x2…()1＋x2010的最小值是________．9．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________．10．(2008年江苏卷改编)若x、y、z∈R＋，x－2y＋3z＝0，求y2xz的最小值．11．已知A(0,9)B(0,16)是y轴正半轴上的两点，C(x,0)是x轴上任意一点，求当点C在何位置时，ACB最大？．1312.已知不等式1()()9axyxy对任意正实数,xy恒成立，则正实数a的最小值为14