2014届高考数学一轮复习讲义：第二章 2.1 平面向量的概念及线性运算

一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称为模)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±a|a|要点梳理忆一忆知识要点大小方向长度01个单位0平行向量方向或的非零向量共线向量的非零向量又叫做共线向量0与任一向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0忆一忆知识要点相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反要点梳理2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝(2)结合律：(a＋b)＋c＝．忆一忆知识要点三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝λ(μa)＝；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝忆一忆知识要点三角形|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb要点梳理3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在惟一一个实数λ，使得.忆一忆知识要点b＝λa要点梳理[难点正本疑点清源]1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确的序号是________．平面向量的概念辨析①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|AB→|，因此，AB→＝DC→.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.答案②③(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a与a|a|的关系是：a|a|是a方向上的单位向量．探究提高判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等．变式训练1解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小．(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关．(3)正确．(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行．(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的．(6)不正确，因为AB→与CD→共线，而AB与CD可以不共线即AB∥CD.(7)正确．(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等．例2在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AD→，AG→.向量的线性运算结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键．解AD→＝12(AB→＋AC→)＝12a＋12b；AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋13(BA→＋BC→)＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b.(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．探究提高在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AG→.变式训练2解AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋λBE→＝AB→＋λ2(BA→＋BC→)＝1－λ2AB→＋λ2(AC→－AB→)＝(1－λ)AB→＋λ2AC→＝(1－λ)a＋λ2b.又AG→＝AC→＋CG→＝AC→＋mCF→＝AC→＋m2(CA→＋CB→)＝(1－m)AC→＋m2AB→＝m2a＋(1－m)b，∴1－λ＝m21－m＝λ2，解得λ＝m＝23，∴AG→＝13a＋13b.例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．平面向量的共线问题解决点共线或向量共线问题，要结合向量共线定理进行．(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→、BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．探究提高如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝13AC，在AB上取一点M，使得AM＝13AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝12BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的值．变式训练2解∵AP→＝NP→－NA→＝12(BN→－CN→)＝12(BN→＋NC→)＝12BC→，QA→＝MA→－MQ→＝12BM→＋λMC→，又∵AP→＝QA→，∴12BM→＋λMC→＝12BC→，即λMC→＝12MC→，∴λ＝12.（14分)如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示向量OM→.思想与方法用方程思想解决平面向量的线性运算问题(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM→能用a、b表示，那我们不妨设出OM→＝ma＋nb.(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解．审题视角规范解答解设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD→＝OD→－OA→＝12OB→－OA→＝－a＋12b.[3分]又∵A、M、D三点共线，∴AM→与AD→共线．∴存在实数t，使得AM→＝tAD→，即(m－1)a＋nb＝t－a＋12b.[5分]又∵A、M、D三点共线，∴AM→与AD→共线．∴存在实数t，使得AM→＝tAD→，即(m－1)a＋nb＝t－a＋12b.∴(m－1)a＋nb＝－ta＋12tb.又∵CM→＝OM→－OC→＝ma＋nb－14a＝m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴CM→与CB→共线．[10分]∴存在实数t1，使得CM→＝t1CB→，∴m－14a＋nb＝t1－14a＋b∴m－14＝－14t1n＝t1，消去t1得，4m＋n＝1.②[12分]由①②得m＝17，n＝37，∴OM→＝17a＋37b.[14分]∴m－1＝－tn＝t2，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①[7分]批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线．方法与技巧1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．失误与防范知识网络平面向量向量的应用例1.在△ABC中，中线AD,BE,CF交于O,求证：0.ADBECFEDFCBA证明：1(),2ADABAC1(),2BEBABC1(),2CFCACBADBECF111()()()0.222ABACBABCCACB(1)0.ADBECF考点一三角形的重心的向量形式OPBAOPBA考点二三点共线问题.nOB例1.OPBAOPBA考点二三点共线问题.nOB例1.,1,mn故mOAnOBuuuruuur考点二三点共线问题APABOPOAOB❶A,P,B三点共线OPOAAB(1)☞三点共线的判定OPBAOPBA❷向量的中点公式当时，121()2OPOAOB＝＋.OPBA【1】如图，在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为．ABCMNO21()2AOABAC.22mnAMAN1.22mn(07江西)则mn的最大值为_____.11614mn24mn≥4mn1.16mn≤【2】已知△AOB,点P在线段AB上,若4,OPmOAnOB≤14mnOPBAOPBA