2016届高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和课件 文 湘教版.

5.3等比数列及其前n项和1.等比数列的有关概念（1）等比数列的定义一般地,如果一个数列从起,每一项与它的的比等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母（q≠0）表示.（2）等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=.（3）等比中项如果三个数a、G、b成，则G叫做a和b的等比中项，那么GbaG，即G2=.【思考探究】b2=ac是a,b,c成等比数列的什么条件?提示：b2=ac是a,b,c成等比数列的必要不充分条件,∵当b=0,a,c至少有一个为零时,b2=ac成立,但a,b,c不成等比数列;反之,若a,b,c成等比数列,则必有b2=ac.（4）等比数列的前n项和公式Sn=(1),(1).qq第2项前一项同一个公比q11naq等比数列ab1na11(1)11nnaaqaqqq2.等比数列的性质已知等比数列{an}的前n项和为Sn.（1）数列{c·an}（c≠0）,{|an|}，{an·bn}（{bn}也是等比数列），{2na}，1na等也是等比数列.（2）数列am，am+k，am+2k，am+3k，…，仍是等比数列.（3）若m+n=p+q,则，特别地，若m+n=2p，则.反之，若am·an=ap·aq,不一定有m+n=p+q.（4）a1an=a2an-1=…=aman-m+1.（5）数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…，仍是数列（此时{an}的公比q≠-1）.（6）当n是偶数时,S偶=S奇·q；当n是奇数时，S奇=a1+S偶·q.··mnpqaaaa2·mnpaaa等比1.等比数列{na}的公比为q，则“q＞1”是“对于任意正整数n，都有na＋1＞na”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】当1a＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.【答案】D2.已知各项不为0的等差数列{na}，满足23a－27a＋211a＝0，数列{nb}是等比数列，且7b＝7a，则86bb等于()A.2B.4C.8D.16【解析】由题意可知，86bb＝27b＝27a＝2(113aa)＝47a.∵23a－27a＋211a＝0,47a27a=0.∵7a≠0，∴7a＝4，∴86bb=16.【答案】D【解析】由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得.【答案】C214339SS3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝()A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶34.等比数列{na}的公比q＞0.已知2a＝1，2na＋1na＝6na，则{na}的前4项和4S＝_____.【解析】∵{na}是等比数列，∴2na＋1na＝6na可化为11nqa＋nqa1＝611nqa，∴062qq.∵q＞0，∴q＝2,2a＝qa1＝1，∴211a.∴21521)21(211)1(4414qqaS.【答案】2155．(2014·北京西城区期末)已知{an}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝________；1a21＋1a22＋…＋1a2n＝________．【解析】∵{an}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，即a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，∴即数列是首项为，公比为的等比数列，∴【答案】2nna411221na4141nnnaaa41131411411411...1122221n41131等比数列的判定与证明等比数列的判定方法（1）定义法：若1nnaa=q（q为非零常数）或1nnaa=q（q为非零常数且n≥2），则{an}是等比数列.（2）中项公式法:若数列{an}中,an≠0且21na=an·an+2（n∈N*），则数列{an}是等比数列.（3）通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn（c，q均为不为0的常数，n∈N*），则{an}是等比数列.（4）前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k（k为常数且k≠0，q≠0，1），则{an}是等比数列.【提醒】（1）前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空中的判定.（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2（n∈N*）.（1）设bn=an+1-2an，求证：{bn}是等比数列；（2）设cn=31nan，求证：{cn}是等比数列.【解析】证明:an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an.（1）1nnbb=21122nnnnaaaa=111(44)22nnnnnaaaaa=11242nnnnaaaa=2,又∵S2=a1+a2=4a1+2=6，a2=S2-a1=5,∴a2=5.∴b1=a2-2a1=3.∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.（2）由（1）知bn=3·2n-1=an+1-2an，∴11222nnnnaa=3.∴数列22nna是等差数列,公差为3,首项为2.∴22nna=2+(n-1)×3=3n-1.∴an=(3n-1)·2n-2.∴cn=2n-2.∴1nncc=1222nn=2.∴数列{cn}为首项为12的等比数列,公比为2.【变式训练】1.已知数列{an}的首项a1＝35，an＋1＝3an2an＋1，n∈N*.(1)求证：数列1an－1为等比数列；(2)记Sn＝1a1＋1a2＋…＋1an，若Sn100，求最大正整数n；(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．(1)证明：因为所以.又因为≠0，所以≠0(n∈N*)，所以数列为等比数列.(2)由(1)可得＝所以.nnaa31321111313131111nnnaaa111a11na11na11na13132n131211nnaSn＝若Sn100，则n＋1－100，所以最大正整数n的值为99.(3)假设存在，则m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2，因为an＝，所以化简，得3m＋3n＝2·3s.因为3m＋3n≥2＝2·3s，当且仅当m＝n时等号成立.又m，s，n互不相等，所以3m＋3n＝2·3s不成立，所以不存在满足条件的m，n，s.nnnnnnnaaa3113113131231...313121...111221n31233nn2123312331233ssmmnnnm3等比数列的基本运算等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用.在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.已知数列{an}满足:a1=1,a2=a（a＞0）.数列{bn}满足bn=anan+1（n∈N）.（1）若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式;（2）若{an}是等比数列,求{bn}的前n项和Sn.【解析】（1）∵数列{an}是等差数列,a1=1,a2=a,则d=a-1,∴an=1+（n-1）（a-1）.又∵b3=12,∴a3a4=12,即（2a-1）（3a-2）=12,解得a=2或a=-∵a＞0,∴a=2.∴an=n.（2）∵数列{an}是等比数列,a1=1,a2=a（a＞0）,则q=a，∴an=an-1.∴bn=anan+1=a2n-1.∵=a2,∴数列{bn}是首项为a,公比为a2的等比数列.当a=1时Sn=n;当a≠1时,Sn=65nnbb111121222aaaaaann【变式训练】2.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝23nS14135aa又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－故等比数列{an}的通项公式为an＝(2)由(1)得Sn＝，n为奇数，，n为偶数.当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn≤S1＝，故0Sn－≤S1－当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn1，故0综上，对于n∈N*，总有所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为.2321nnn23121231n211n211n21123nS111S6532234312734431122SSSSnn651127nnSS65127等比数列的性质等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比.关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们,同时也有利于类比思想的推广.对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算,若能关注通项公式an=f（n）的下标n的大小关系，可简化题目的运算.(1)在等比数列{na}中，已知74aa＝－512，3a＋8a＝124，且公比为整数，求10a；(2)已知等比数列{na}中，有3a11a＝47a，数列{nb}是等差数列，且7b＝7a，求5b＋9b的值；(3)在等比数列{na}中，若1a2a3a4a＝1，13a14a15a16a＝8，求41a42a43a44a.【解析】(1)4a·7a＝3a·8a＝－512，∴.41281284,12451283838383aaaaaaaa，或解得,32128438583aaqaa时，当∴q＝－2.∴,1231qaa∴.512)2(192110qaa.21,321412838583qaaqaa时，当又∵q为整数，∴21q舍去.综上所述：10a＝512.(2)∵3a11a7274aa，∵7a≠0，∴7a＝4，∴7b＝4，∵{nb为等差数列，∴5b＋9b＝27b＝8.(3)方法一1a2a3a.①13a14a15a8544115114113112116qaqaqaqaqaa.②②÷①：,2816486415441qqqaqa102421)()(1010166411606411664143142144140144434241qqaqqaqaqaqaqaqaaaaa又方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设,143211aaaaT8161514134aaaaT∴,813314PPTT∴p＝2.∴4111aT42a43a102421010144pTa【方法总结】在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则qpnmaaaa”，可以减少运算量，提高解题速度.【变式训练】3.(1)(2013·南京一模)记等比数列{na}的前n项积为Tn(n∈N*)，若