高一数学-三角函数-ppt

三角函数的相关概念三角变换与求值三角函数的图象和性质三角函数复习主要内容一、任意角的三角函数1、角的概念的推广正角负角oxy的终边的终边(,)零角度弧度003064543602120231353415056270321803602902、角度与弧度的互化2360180,1801()57.3057181180弧度特殊角的角度数与弧度数的对应表三角函数复习弧长公式与扇形面积公式1、弧长公式：2、扇形面积公式：S=12rlS=12r2c216=rl例1.已知一扇形中心角是α，所在圆的半径是R.①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.②若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值?三角函数复习B三角函数复习任意角的概念一、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。二、象限角与区间角的区别2,2kkkZxyOxyOxyOxyO三、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式2kkZkkZ2kkZ3、任意角的三角函数定义的终边sin,cos,tanyxyrrx4、同角三角函数的基本关系式22rxy定义：三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”xyo●P(x,y)r111111222_____csc_____sec_____sin____sincostan____sincot________sec____cscααααααααααsinαcosαtanαcot2αtan2αcos2αcotαcosα例2．已知sinα=m(|m|≤1)，求tanα.方法指导：此类例题的结果可分为以下三种情况.(1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解.(2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解.(3)已知角α的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论.α分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解.指导：在各象限中，各三角函数的符号特征是去绝对值的依据.另外，本题之所以没有讨论角的终边落在坐标轴上的情况，是因为此时所给式子无意义，否则同样要讨论练习．化简1αsectanααtan13secα22指导：容易出错的地方是得到x2＝3后，不考虑P点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地，在解此类问题时，可以优先注意角α所在的象限，对最终结果作一个合理性的预测例4．设α为第三象限角，其终边上的一个点是P(x，)，且cosα＝，求sinα和tanα.5x42例5、若，则。18sincos,42cossin42指导:条件是正余弦的乘积，结论要求的是差，要想联系起来只有平方，需注意的是∈(,)即23222cossincossin2sincoscossincossin=1-2×1/8=3/4∴5、诱导公式：2:,k诱导公式是针对的各三角函数值的化简口诀为奇变偶不变符号看象限例：3sin()2cos（即把看作是锐角）cos()2sinsin()sincos()cos用诱导公式求值的一般步骤任意负角的三角函数用公式三或公式一任意正角的三角函数0°到360°的角的三角函数用公式二或四或五锐角三角函数求值用公式一可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”1.三角函数的化简、求值、证明题，一定要注意符号解题分析2.三角变换一般技巧有①变同角（化同角、未知角化为已知角），②变同名（切割化弦、构造齐次分式弦化切求值）③降次（倍、半角公式）④三角函数与特殊值的互化总之：化为y=Asin(ωx+φ)形式（一个角一个名的一次式）二、两角和与差的三角函数1、两角和与差的三角函数cos()coscossinsinsin()sincoscossintantantan()1tantan注：公式的逆用及变形的应用tantantan()(1tantan)公式变形合一变形公式abbaababxbaxbxatancossinsincossin222222或2、倍角公式sin22sincos22cos2cossin222cos112sin22tantan21tan注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别21cos2cos221cos2sin2ααααααααααα半角公式sincos1cos1sincos1cos12tan2cos12sin;2cos12cos:sin2x=2sinxcosxcos2x=cos2x-sin2x=2sinxcosx1=2sinxcosxcos2x+sin2x=2tanx1+tan2x=cos2x-sin2x1=cos2x-sin2xcos2x+sin2x=1-tan2x1+tan2xtan2x=2tanx1-tan2x二倍角的三角函数(万能公式)222cos2sinsin12cos2sinsin1三、三角函数的图象和性质图象y=sinxy=cosxxoy22322-11xy22322-11性质定义域RR值域[-1，1][-1，1]周期性T=2T=2奇偶性奇函数偶函数单调性[2,2]22kk增函数3[2,2]22kk减函数[2,2]kk增函数[2,2]kk减函数o1、正弦、余弦函数的图象与性质kZkZkZkZ（1）用五点法作函数图象的步骤是：第一步：第二步：在同一坐标系中描出各点。)sin(xAy令，取值为、、、、再求出相应的x值和y值。x22320第三步：用光滑曲线连接这些点，构成函数的图象。列表三角函数复习---三角函数的图象（五点法）典型例题解析与方法总结一、五点法作函数图象及有关问题例1、用五点法画出函数的图象，并指出函数的单调减区间。)32sin(2xy解：(1)列表61231276532x22322xy00002（2）描点。xy61223127265（3）用光滑的曲线顺次连接各点。如右图所示.根据函数的周期性，将右图向左右扩展即可得到原函数的图象。可见在一个周期内，函数在[，]上递减，又因为函数的周期是。1212712k127k所以函数的单调递减区间为[，]（kZ）。0三、一般函数图象变换基本变换平移变换伸缩变换上下平移左右平移上下伸缩(振幅变换)左右伸缩(周期变换)y=f(x)图象的y=f(x)+b图象y=f(x+φ)图象y=Af(x)图象y=f(ωx)图象向上(b0)或向下(b0)移︱b︱单位向左(φ0)或向右(φ0)移︱φ︱单位点的横坐标变为原来的1/ω倍纵坐标不变点的纵坐标变为原来的A倍横坐标不变解法1的图象才能得到的图象经过怎样的变换函数练习)5213sin(ysinxy2xxysin)5sin(xy)521sin(xy)521sin(3xy向右平移个单位5横坐标伸长为原来的2倍纵坐标伸长为原来的3倍的图象才能得到的图象经过怎样的变换函数练习)5213sin(ysinxy2x解法2xysinxy21sin)]52(21sin[)521sin(xxy)521sin(3xy横坐标伸长为原来的2倍向右平移个单位52纵坐标伸长为原来的3倍三角函数复习---三角函数的图象和性质正弦型函数的图象和性质二、由y=Asinωx+A0,ω0图象的一部分求其解析式的一般方法1、先由图象确定A与T2、由ω=2T求ω3、特殊点代入法求三、函数y=Asinωx+A0,ω0图象的对称轴和对称中心对称轴：ωx+=k+2x=2k+-22ω对称中心:k-ω,0k为整数3、正切函数的图象与性质y=tanx图象22xyo3232定义域值域{|,}2xxkkZR奇偶性奇函数周期性T单调性(,)()22kkkZ例1：已知是第三象限角，且，求。四、主要题型1cos3tan解：应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；例2：已知，计算⑴⑵tan23sincos2sincossincos1tantan2应用：关于的齐次式sincos与变式2已知是三角形的内角，且sin+cos=15,求tan的值.分析：cos2=sin2+2=2sin+4cos+4sin2=-cos2+2=1-2cos2+4cos2+4=cos2cos4-sin2sin4=-31250.求：cos2+4的值。已知：cos+4=35,232；例3.xbaαbαa2sinsincos(2)2cos100sin0cos1311例4、求值：cos101tan1031sin80sin502方法指导:三个关键点(1)将1+3·tan10°“切化弦”(3)对于形如1±cosα、1±sinα的式子的化简应熟练掌握.例3：已知，353sin(),cos(),(,),(0,)45413444且sin()求解:sin()cos[()]2cos[()()]44[cos()cos()sin()sin()]4444334sin(),(,)cos()454445且512cos(),(0,),sin()4134413且4531256()51351365上式应用：找出已知角与未知角之间的关系例4：已知22cossin12tan222,2(,),22sin()4求的值解：22cossin1cossin22sin()2sin()441tan1tantan222,22tan222tan2tan1tan2即或2(,)(,)tan2242cossincossin应用：化简求值223D例题5:变式1变式2356变式3例题6:变式1求函数f(x)=3sinx-cosx0x的值域。答案：函数的值域为-1，2。变式2求函数y=2sinxcos32+x+3cosxsin+x++sin2+xcosx的周期和值域。析y=2sin2x-3sinxcosx+cos2x=-sin2x+6+32周期T=,值域:12,52.求函数y=2-4asinx-cos2x的最小值。析y=2-4asinx-1-2sin2x=2sin2x-4asinx+1=2sinx-a2+1-2a2tyo-11t=a设sinx=t,则-1t1.且y=f(t)=2t-a2+1-2a2(1)若-1a1,则有：ymin=f(a)=1-2a2.t=atyo-11(2)若a-1,则有：ymin=f(-1)=3+4a.(3)若a1,则有：tyo1-1t=aymin=f(1)=3-4a.2min